不等式の証明

質問

数学II 不等式の証明

A>0,B>0のとき、不等式(B/2A)+(2A/B)≧2を証明しなさい。

という問題なのですが、左辺を相加平均、右辺を相乗平均すると解答には書いてあるのですが意味がわかりません。

どうか詳しくお教えいただけないでしょうか？

お願いいたします。

回答No.1

0lmn0lmn0 · ベストアンサー

(1)
　相加平均は、(a+b)/2 。相乗平均は、√ab　。
　　相加平均・相乗平均の関係は、(a+b)/2 ≧√ab　(a＞0, b＞0)
　　　等号成立条件は、a＝b

　証明（例）は平方完成で、
左辺－右辺
＝[(a+b)/2]－√ab　　　技巧を施して、
＝[(√a)^2]+(√b)^2]/2－√ab　　√abを通分して真ん中に置いて、
＝[(√a)^2]-2√a√b+(√b)^2]/2 　よく見ると（Ｘ－Ｙ）＾２＝・・・の形となっていて、
＝[（√a-√b）^2]/2≧０
したがって、左辺≧右辺　　a＝bのとき、等号成立　。

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(2)
＞＞A>0,B>0 ,(B/2A)+(2A/B)≧2

　a、bは正ならば何であってもよいので頭の中で、

　　　a＝(B/2A)、b＝(2A/B)　と置いて考えると、

　　　(a+b)/2 ＝[(B/2A)+(2A/B)]/2
　　　　√ab＝√(B/2A)(2A/B)＝１

　　　＜　(a+b)/2 ≧√ab　(a＞0, b＞0)故に、　＞

　　　[(B/2A)+(2A/B)]/2 ≧１　　両辺を２倍して、
　　　　　　(B/2A)+(2A/B)≧２

　　　＜　等号条件は、a＝b　故に、　＞

　　　(B/2A)＝(2A/B)　両辺に2ABを掛けて、
　　　　　B^2＝4(A^2) 　→　B＝2A　　。
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(3)
相加・相乗は、意外な陥穽があります。ひとつ上のスレッドで、相加・相乗を２回使うと誤解答となります。展開して、相加・相乗を１回だけ使う事になります。
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(4)
別解があるときは、確認のためやって見る方が良いと思います。以下数式（略解）のみ書きます。
左辺－右辺
＝(B/2A)+(2A/B)-2
＝[(B^2)-4AB+4(A^2) ]/2AB
＝[(B-2A)^2]/2AB≧0
・・・　　　。

回答No.3

0lmn0lmn0

＃１です。間違えました。訂正します。

　　　　誤

(3)　
　　・・・　ひとつ上のスレッドで、
　　相加・相乗を２回使うと誤解答となります。
　　展開して、相加・相乗を１回だけ使う事になります。

--------

　　　　正

　　ひとつ上のスレッドの回答を書いていて、
　　誤りに気が付きました。

>>　　[A+(2/B)][B+(2/A)]≧8

　　　[A+(2/B)]と[B+(2/A)]の等号条件は、
　　　両者共に、AB=2 となり、

　　　相加・相乗を２回使ってokでした。
--------

ＰＳ
　　　これが原因で、
　　　ひとつ上のスレッドの原稿が上手く書けません。

回答No.2

vigo24

>左辺を相加平均、右辺を相乗平均すると解答には書いてあるのですが

左辺とか右辺とか難しく考えずにただ相加相乗平均の公式を使えばいいだけですよ。

相加相乗平均の公式『（X＋Y）/2≧√（XY）』
でX＝(B/2A)、Y＝(2A/B)
とおくだけです。