不等式の証明

質問

正の実数x,y,zで、xyz=1のとき、
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)>=3/2 を示せ。

左辺について、相加相乗平均をつかうと、
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)>=3{xyz/(y+z)(z+x)(x+y)}^(1/3)
=3{1/(y+z)(z+x)(x+y)}^(1/3)
これから、8>=(y+z)(z+x)(x+y)をしめせばよい。が、どうしても
しめせない。ということは、最初の出だしがよくないと思う。
　次に、xyz=1と相加相乗平均から、
左辺=1/yz(y+z)+1/zx(z+x)+1/xy(x+y)
=4/(y+z)^3+4/(z+x)^3+4/(x+y)^3　とかしてみたが、
結局、8>=(y+z)(z+x)(x+y)に帰着するので、ダメ。
あとは、x/(y+z)>=3/2*{x/(x+y+z)}を示せれば、よいと思いましたが、
できませんでした。
解決方法のアドバイスお願いします。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

いつも言ってるように、置き換えで片がつく。
しかし、その置き換えの方法で　センス　が現れる。

(y+z)＝a、(z+x)＝b、(x+y)＝c　(a＞0、b＞0、c＞0)と連立すると、2y＝a＋c-b、2x＝c＋b-a、2z＝a＋b-c　だから　証明する不等式は　(c+b-a)/(2a)＋(a+c-b)/(2b)＋(a+b-c)/(2c)≧3/2.
つまり、(c+b-a)/(a)＋(a+c-b)/(b)＋(a+b-c)/(c)≧3　を示すと良い。
左辺を展開すると＝‥‥‥＝(b/a+a/b)＋(c/a+a/c)＋(c/b+b/C)-3≧3　を示す。
ところが、相加平均・相乗平均から　(b/a+a/b)≧2、(c/a+a/c)≧2、(c/b+b/C)≧2　だから、明らか。
等号は　a＝b＝cだから　x＝y＝z＝1　の時。

これだけなんだが、xyz=1　は不要。
私の、勘違いかな？。。。。。。。ｗ

お礼

回答ありがとうございます
すっきりしていて、感心するばかりです。
何を自分で悩んでいたのか・・・・
できない段階で、別の方針を考えなければならなかったです。
確かに、xyz=1の条件は必要ないと思いました。

回答No.10

ringohatimitu

すでに色々回答がありますが常套手段の偏微分を使っても簡単に出来るので一応参考までに。
まず３変数だと煩わしいので２変数にしましょう。左辺分子・分母xで割って
1/(a+b) + a/(1+b) + b/(1+a) ≧ 3/2
を示せばよいことになります。 与えられた定義域で停留点を求めるためにa,bについて偏微分してそれぞれ＝0として解けばすぐにa=b=1が得られます。そしてこれがただ一つの停留点であることなどからこの点が実際最小値を与える点であることもわかります。

以下ちょっと独り言ですが・・・出来るだけ簡単に解く姿勢は大事です。しかし見た目最も簡単なものが「最良」というわけではありません。例えば上の偏微分による方法は他の多くの問題にも応用が効きますしそういった意味では相加・相乗平均を使うものよりも優れていると言えるでしょう。一方で相加・相乗平均は初等的ながらもその考え方が色々と応用されるのでそういった意味では偏微分を使うものよりも優れていると言えるでしょう。すなわち「見方によって優れた解法」は異なるわけです。数学の歴史を遡れば泥臭い計算をした結果素晴らしい方法を思いついた例なんて山ほどあるのです。受験生ならいざしらず趣味などで問題を解くことを楽しんでいる場合「高校の範囲で解くのが当然」などといった姿勢は数学を身に着ける上で弊害でしかないでしょう。とりあえず何でもいいから解く、こういった姿勢が一番大事です。単に煩雑な回答に難癖をつけるなんてそれこそ数学の本質を理解してるのか疑いますね。

お礼

回答ありがとうございます
１変数の微分の意味することは分かりますが、
偏微分で停留点がよく分からないので、調べてみたいと
思います。１変数のグラフの頂点の感覚でしょうか

回答No.9

momordica

馬鹿正直に左辺から右辺を引いて
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)-3/2
　=(2x^3+2y^3+2z^3-xy^2-yx^2-yz^2-zy^2-zx^2-xz^2)/((x+y)(y+z)(z+x))
　=((x+y)(x-y)^2+(y+z)(y-z)^2+(z+x)(z-x)^2)/((x+y)(y+z)(z+x))
　≧0
でもいいような気が。
等号成立は、x-y=y-z=z-x=0、すなわちx=y=zのときです。
対称性のある式なので、通分して整理するのは見た目ほどの手間ではありません。
分子を展開した後の最後の変形がちょっと思いつきにくいかもしれませんけど。

エレガントに解くに越したことはないですが、色々なアプローチを試みるのは
悪くないと思いますけどね。

お礼

回答ありがとうございます
灯台もとくらしと思いました
基本に立ち返って、みることも大切だと実感しました

回答No.8

FT56F001

今回は#3で納得できるのですが，8/10，8/17の112233445さんの問題は未解決のままでしたね。
とても高校数学レベルに見えないのだけれど。

お礼

回答ありがとうございます
たぶん＃３の解答ように、レベル的にはとけるのでないかと思います。
ただ複雑なだけで、それに気づいていないだけなのでないかと思っています。

回答No.7

mister_moonlight

いとも簡単な高校数学を、わざわざ面倒なものを持ち出して“遠回りして、面倒に解く”というのは、その回答者が　頭が悪い上に、センスのない証拠。。。。。。。ｗ

高校数学は、高校数学の知識で解かなければならない、こんな事は当たり前のこと。

回答No.6

info22_

#2です。

A#2の補足質問の回答

>等号になるのは、(y+z)(z+x)(x+y)=8　のときであることは
>分かるのですが、(y+z)(z+x)(x+y)=8 のとき、
>x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)の最小値が、3/2になるとは、いいきれない
>のでないかと思いました。

「(y+z)(z+x)(x+y)=8」は
【問題で与えられた条件「x,y,z,xyz=1」と　等号条件「x/(y+z)=y/(z+x)=z/(x+y)」】
　　…(▲)
から導出される関係です。
ただ、導出された式ですから問題の等号条件（▲）と等価ではありません。（▲）の条件のもとで成立つ関係ですから、必要条件に過ぎません。つまり、必要条件は、必要条件ではないので、「x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)の最小値が、3/2になるとは、いいきれない」だろうね。

　実際に(▲)の等号条件からは「x=y=z=1」…(◎)が導出できます。（◎）が（▲）の条件と等価な等号条件になります。
もちろん、(◎)のとき与不等式の左辺=3/2となりますので等号が成立します。

>>理由としてはx/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)のグラフと、3{1/(y+z)(z+x)(x+y)}^(1/3)
>>のグラフで考えると、最小値で、等号になっているとは限らないのでは・・・

３変数の４次元空間の曲面グラフをどのようにして考えましたか？実際に描けないののでは？なので４次元空間の曲面の最小値をどのように考えたのでしょうか？

なお、この与不等式の問題で与えられた条件「x>0,y>0,z>0,xyz=1」の元では等号条件は「x=y=z=1」となりますが、
与えられた条件からxyz=1をはずしてた条件「x>0,y>0,z>0」だけでも与不等式は成立ちます。
このときの等号条件は
問題の条件「x>0,y>0,z>0」と等号条件「x/(y+z)=y/(z+x)=z/(x+y)>0」から
導出できる（等価な）等号条件は「x=y=z=C(Cは正の任意定数)」となります。

お礼

回答ありがとうございます
「x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)のグラフと、3{1/(y+z)(z+x)(x+y)}^(1/3)
のグラフで考えると、」と書いてしまいましたが、f(x)の関数で考えた場合でした。

回答No.5

FT56F001

#4です。すいません，#3でエレガントに解決していました。

相加平均相乗平均の等号条件の成立も大切ですが，
もっと大事なことは
「不等号の向きを，基本に戻ってチェックすること」だと思います。

回答No.4

FT56F001

> 正の実数x,y,zで、xyz=1のとき、
> x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)>=3/2 を示せ。

まず，多くの回答者さんが指摘されているように，xyz=1の条件は不要です。
目的不等式の左辺は，x,y,zを定数倍した値，kx,ky,kzに置き換えても値が変らないからです。

> 左辺について、相加相乗平均をつかうと、
> x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)>=3{xyz/(y+z)(z+x)(x+y)}^(1/3)
> =3{1/(y+z)(z+x)(x+y)}^(1/3)

今回も，「相加相乗平均では証明できない」問題です。
x=0.5,y=0.5,z=4とおくと，(一応，問題文の通りxyz=1にしました)
x/(y+z)=0.5/4.5=1/9=0.111
y/(z+x)=0.5/4.5=1/9=0.111
z/(x+y)=4/1=4
となって，その和は4.222>3/2です。(元の不等式は成立しています)
三項の和=3*相加平均≧3*相乗平均ですから，3*相乗平均≧3/2ならば証明が終わります。

ところが，3*相乗平均=3*(1/81*4)^(1/3)=1.1006であり，3/2を下回っています。
すなわち，相乗平均では甘すぎて，三項の和が3/2より大きくなることの証明になりません。

> これから、8>=(y+z)(z+x)(x+y)をしめせばよい
ではなくて，不等式として成り立ちません。
実際，x=0.5,y=0.5,z=4とおくと(y+z)(z+x)(x+y)=4.5*4.5*1=20.25であり，
8以下にはなりません。

数値実験によれば，
3*相乗平均値=3{1/(y+z)(z+x)(x+y)}^(1/3)
の最大値が3/2です。(x=y=zのとき)

112233445さんの不等式は，毎回，高度な引っ掛け問題なので，警戒しています!
「相加平均・相乗平均を使うと，
　相乗平均の最大値が目的不等式の下限と一致するので，証明した気になる。
　しかし，よく考えると，相乗平均の不等号の向きが逆で，
　目的不等式成立の証明になっていない。実は簡単に証明できない」

相乗平均・相加平均をいきなり使うのではなくて，
(1) 何かうまい評価式を考える。
(2) 目的不等式左辺≧評価式
(3) 評価式≧3/2
と示していかないと，証明できません。

ここ数回の112233445さんの問題は手ごわいので，
数日ホンキで考えても，小生にはムリかも・・・

お礼

回答ありがとうございます
目的不等式左辺≧評価式　がうまくでてこないので、
強引に何も考えもせずに、相加相乗平均を使ってしまうので、いつも
反省しています。一見すると、相加相乗で出てきそうに思えて、そうでもなく
焦ってくる問題でしたが、＃３の回答は、きれいに処理されているので、参考に
なります。

回答No.2

info22_

>解決方法のアドバイスお願いします。
相加平均と相乗平均の関係の等号成立条件を忘れていませんか。
等号成立条件からより簡単なx,y,zの条件を求めると解決するだろ。

等号成立条件は
　x/(y+z)=y/(z+x)=z/(x+y)

x/(y+z)=y/(z+x)=z/(x+y)=kとおくと,x>0,y>0,z>0なのでk>0
　x=k(y+z)
y=k(z+x)
z=k(x+y)
加えて
　x+y+z=2k(x+y+z)
x>0,y>0,z>0なので x+y+z>0 なので(x+y+z)で割ると　2k=1 ∴k=1/2
積をとると
　xyz=(k^3)(y+z)(z+x)(x+y)
k=1/2,xyz=1なので
　1=(1/8)(y+z)(z+x)(x+y) ∴(y+z)(z+x)(x+y)=8…(☆)

この(☆)が簡単化された等号条件です。これを使えば
> x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)≧3{xyz/(y+z)(z+x)(x+y)}^(1/3)
> =3{1/(y+z)(z+x)(x+y)}^(1/3)
(☆)を適用すると
=3/8^(1/3)=3/2

となるだろ。

[要チェック事項]なぜ途中で行き詰ったか？等号条件を忘れて使わなかったからだね。

お礼

回答ありがとうございます
等号になるのは、(y+z)(z+x)(x+y)=8　のときであることは
分かるのですが、(y+z)(z+x)(x+y)=8 のとき、
x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)の最小値が、3/2になるとは、いいきれない
のでないかと思いました。
理由としてはx/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)のグラフと、3{1/(y+z)(z+x)(x+y)}^(1/3)
のグラフで考えると、最小値で、等号になっているとは限らないのでは・・・
よろしくお願いします。

回答No.1

mister_moonlight

月曜日の朝から、元気だね。。。。。ｗ

＞xyz=1のとき、

この条件がなくても、相加平均・相乗平均で簡単に証明できる。書き込みミスではないか？

それとも、月曜の朝だから、私が寝ぼけてるのかな？

お礼

回答ありがとうございます
確かに問題には、この条件があります。
もう一度、相加相乗平均で、見てみたいと思います。
ただし、xyz=1の条件にあまり固執しないで考えたいと思います。