不等式の証明

質問

xyz=1,x>0,y>0,z>0のとき、
1/√(1+8x)+1/√(1+8y)+1/√(1+8z)>=1 を示せ。

先ずは、√を外そうと考えました。
s=√(1+8x), t=√(1+8y), r=√(1+8z)とおくと、
(s^2-1)(t^2-1)(r^2-1)=1,s>1,t>1,r>1のとき、
1/s+1/t+1/r>=1　を示すことになる。

√を外せば、簡単になるのかと思いましたが、
(s^2-1)(t^2-1)(r^2-1)=8^3とかs>1,t>1,r>1の条件の使い方が
よく分かりませんでした。

1/s+1/t+1/r>=1　を示すのに、左辺に相加相乗平均を使うと、
左辺>=3*(1/str)^(1/3)となるが、これが１以上になればよいので、
3^3>=str を示せればよいと思いました。
(s^2-1)(t^2-1)(r^2-1)=8^3 に対しても相加相乗平均を使ってみました。
s^2+t^2+r^2>=27となるが、3^3>=str と関連が分からず。
このあと、どう結論にもっていけばよいでしょうか。また、方針として、結論には
程遠い解法でしたら、すみません。

回答No.4

math_noonlight · ベストアンサー

＞で不等号の向きが逆だといいと思うのですが・・・
当然の指摘だ。
＞(4)で　α＋β＋γ　が　(3)√(αβγ)の最大値より大きければ良い。
これでは何も証明していない。訂正にもなっていない。
恥もなくよく回答するものだ。

これは昨日の問題より難しめ。
見通しもなく相加相乗平均に頼ろうとすると迷走する。
今回は3項の和が1以上になる不等式。
第1項は例えばk/(k+l+m)の形に持ち込もうと考えるのが次の一歩。
そのとき次の不等式（いろいろな形式があるが）を知らないと厳しいだろう。
A^3/√(A^6+8B^3・C^3)≧A^4/(A^4+B^4+C^4), A>0,B>0,C>0

1/√(1+8x)≧{1/x^(4/9)}/{1/x^(4/9)+1/y^(4/9)+1/z^(4/9)}　　★を示す。
これは{1/x^(4/9)+1/y^(4/9)+1/z^(4/9)}^2-1/x^(8/9)≧8x^(1/9)と同値。
上式の左辺={1/y^(4/9)+1/z^(4/9)}{1/x^(4/9)+1/x^(4/9)+1/y^(4/9)+1/z^(4/9)}≧2/(yz)^(2/9)・4/{x^(2/9)(yz)^(1/9)=8x^(1/9)　相加相乗平均から。
同様に他の2項も★のような不等式を示し足し合わせて等号成立について述べれば証明終了。

今回は残念ながら質問者の方針では示すことができなかった。済まない。
その代わりにアドバイス。
前回の問題はbで括り出した式が見えていた。2項の積がシンプルになるからこれがオリエンテーリングでいうチェックポイントになった。無論3項でダメなら2項でと考えるのは常道。
今回の問題は自分でチェックポイントを探さなければならない。
そのときに必要なのは計算力ではなく知識と経験と洞察力。どれだけ多くの不等式を知り、どのような手法で証明されているのか分析した経験がものをいう。その応用問題で洞察力を磨くことも必要。
マップのないオリエンテーリングに参加するときは、これらを備えているように。
簡単な装備では遭難は必至だ。

お礼

回答ありがとうございます
「知識と経験と洞察力」のことばが、身にしみています。
いままで、解いていた問題は、あまりこれらを必要としていないといえば
言い過ぎですが、自分のレベルが問題と余りに乖離しているように感じます。
２点
(1)今回の不等式
A^3/√(A^6+8B^3・C^3)≧A^4/(A^4+B^4+C^4), A>0,B>0,C>0
から1/√(1+8x)≧{1/x^(4/9)}/{1/x^(4/9)+1/y^(4/9)+1/z^(4/9)}　　
を作り出すだけでも考えてしまいました。
(2)前回の不等式
素朴な疑問ですが、３項間に相加相乗をもちいて
(a-1+ac)(b-1+ab)(c-1+bc)=<{(a+b+c-3+ab+bc+ca)/3}^3
でどうして、右辺が１以下になりえないのか。
それが、２項間にもちいていくと、１以下を導き出せるのか。
微妙な用い方の差が、何に影響しているのか、よくわかりません。
もし、よろしければ教えてもらえないでしょうか。

回答No.3

mister_moonlight

これ以上、コメントする気はない。よく考えろ。
最大値と最小値の意味をね。

回答No.2

mister_moonlight

(1)と(2)から、αβγ≦(1/3)＾3　‥‥(3)
相加平均・相乗平均から　α＋β＋γ≧3(3)√(αβγ)‥‥(4)　

(3)から　αβγの最大値が　(1/3)＾3。　(4)で　α＋β＋γ　が　(3)√(αβγ)の最大値より大きければ良い。

お礼

何度も回答ありがとうございます

αβγの最大値が　(1/3)＾3であるのは良いとして、すべてのα、β、γに対して
α＋β＋γ≧１とは言えないように思いました。

回答No.1

mister_moonlight

君の置き換えと本質的には同じなんだが、こっちの方が見やすいし、やりやすいだろう。

1/√(1+8x)＝α、1/√(1+8y)＝β、1/√(1+8z)＝γ　(α＞0、β＞0、γ＞0)とすると、α＋β＋γ≧1　を示すと良い。
1+8x＝1/α＾2、1+8y＝1/β＾2、1+8z＝1/γ＾2　だから、(1/αβγ)＾2＝(1+8x)*(1+8y)*(1+8z)＝513＋8(x+y+z)＋64(xy+yz+zx)‥‥(1)
x>0,y>0,z>0　より相加平均・相乗平均より　x+y+z≧3、xy+yz+zx≧3‥‥(2)
(1)と(2)から、αβγ≦(1/3)＾3　‥‥(3)
相加平均・相乗平均から　α＋β＋γ≧3(3)√(αβγ)‥‥(4)　よって、(3)と(4)から　α＋β＋γ≧1。等号成立は？

お礼

回答ありがとうございます
αβγ≦(1/3)＾3　‥‥(3)
で不等号の向きが逆だといいと思うのですが・・・