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【不等式の証明】
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ひらめき、という程の問題ではない。 ＞（２）xとyは実数で、x>0,x^8(y-x^2)≧4を満たすとする。このとき、x(x+y)≧４が成り立つことを示せ。 x>0から y-x^2≧4/x^8 → y≧x^2＋4/x^8 ‥‥(1) x(x+y)＝x＾2+xy≧2√(x＾3*y)‥‥(2) (1)から 根号内＝x＾3*y≧x＾5＋4/x＾5≧4 ‥‥(3) 以上 (1)～(3)により x(x+y)＝x＾2+xy≧2√(x＾3*y)≧x＾5＋4/x＾5≧4 そして、等号成立は？ (質問者君へ) 君は、教えてもらったら、お礼を言うと言うmannerをもち合わせていないのか？ これだけの人が 君のために解答しているんだ。その人たちに、感謝する気持ちがないのか？ 君は質問するだけで、放置状態も多いし、こんなことを続けていれば 誰も答えてくれなくなる。 best answerをつければよい、ということではない。
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- MagicianKuma
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(2)x>0ならばx^5>0なので、x>0,x^8(y-x^2)≧4はs=x^5,t=x^3(y-x^2)とおいて、s>0,st≧4と変形できる。(1)から、s>0,st≧4 ⇒ s+t≧4が成り立つので、s+t=x^5+x^3(y-x^2)=x^3・y≧4 同様にして、上の結果x^3・y≧4に、s=x^2,t=xyを適用すれば、s>0,st≧4となり、s+t=x^2+xy=x(x+y)≧4を得る。
- alice_44
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(1) 相加相乗を使う前に、t＞0 を示しておく ことを忘れずにね！ (2) (1)が 何か≧4 から 別の何か≧4 を導く定理 であることに注目して、繰り返し使えないか？ と考えると… s=(xの5乗), t=(xの3乗)(y-(xの2乗)) として (1)を使うと、(xの3乗)y≧4 が導ける。 ここで、もう一度、s=(xの2乗), t=xy として (1)を使うと、目的の式が導かれる。 トリッキーな割りに深みが無く、 あまり感心しない問題。 作題者は、ロクな人物ではないと思う。
お礼
ありがとうございます！ そういう考え方なんですね！ トリッキーですね^^
- 178-tall
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「相加相乗平均」にこだわれば、 (s+t)/2 ≧√(st)≧2 の中を飛ばして、(s+t)≧4
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
(1) 「ひらめき」無しの答案。 s>0, st≧4 を満たすなら、t≧4/s > 0 。 つまり s+t≧s+4/s だが、右辺の s>0 における最小値は s = 2 における s+4/s = 4 。 >（２）は（１）の結果を使います。 割愛。
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