- 締切済み
不等式の問題
x≧0 y≧0とし、不等式 c(x+y)≧2√(xy) …(1)を考える。 ただし、cは正の定数である。 (1)c≧1のとき、(1)は常に成り立つことを示せ。 (2)(1)が常に成り立てば、c≧1であることを示せ。 (3)√x+√y≦k√(x+y)が常に成り立つような正の定数kのうちで、最小なものはいくらか。 という問題なんですが、これは相加相乗平均を使えばいいんでしょうか; さっぱりわからないので教えてください<(_ _)>
- bad_nagoya
- お礼率55% (51/92)
- 数学・算数
- 回答数8
- ありがとう数0
- みんなの回答 (8)
- 専門家の回答
みんなの回答
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
ANO5は間違いだよ。 >1-(k^2-1)^2≧0 となるため、k^4-2k^2≧0 でした。ですのでk≧√2が判別式による解の存在条件でした 違ってるよ。その計算なら、k≦√2になる。どこが違うって? 判別式≦0が条件。考え方が、反対だよ。
- owata-www
- ベストアンサー率33% (645/1954)
よくよく考えれば誘導にのっても簡単でした √x+√y≦k√(x+y) →(√x+√y)^2≦{k√(x+y)}^2 →x+y+2√xy≦k^2(x+y) →x+y+2√xy≦x+y+(x+y)(∵(2))≦k^2(x+y) となるかと
- owata-www
- ベストアンサー率33% (645/1954)
追記 (2)は他の回答者の方は丁寧に解いていますが c<1の時には x=yの時にc(x+y)<x+y=2√xy となるのでc<1の時c(x+y)≧2√(xy)を常には満たさない みたいな感じでもいいかと思います
- 1tasu1ha5
- ベストアンサー率51% (72/139)
すみません、計算ミスがありました。 (3)の判別式のところから。 ここで√aについての判別式を考える。 1-(k^2-1)^2≧0 となるため、k^4-2k^2≧0 でした。 ですのでk≧√2 が判別式による解の存在条件でした。 ですのでk= √2 が解です。
- owata-www
- ベストアンサー率33% (645/1954)
相加相乗を使えばいいです (1)c≧1の時 c(x+y)≧x+y≧2√(xy)なので (2)(1)と同様に考えればOK (3)類似問題が東大の過去問にありましたね コーシー・シュワルツの不等式をうまく使ってください http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F
- 1tasu1ha5
- ベストアンサー率51% (72/139)
全部相加相乗平均で解ける方法もありますけど、発想力が関わってくるからそれ以外の定石も用います。 (1)相加相乗平均よりあきらか。面倒なんで略。 *ax=y となる正の数aを置く。 (2) c(x+y)≧2√(xy) → c(x+ax)≧2√(ax^2) → c(1+a)≧2√a → c(1+a)≧2√a → ac-2√a+c≧0 ac-2√a+c≧0 を √aについての判別式で考える。 すると判別式より 1-c^2≧0 であるため、c≧1 (cは正) よって、(1)が常に成り立てば、c≧1であることが示された。 (3) *ax=y となる正の数aを置く。 √x+√y≦k√(x+y) → 1+√a≦k√1+a → a(k^2-1)-2√a -1+k^2 放物線は(k^2-1)が正の時上に凸であるため、1 ≦ k が題意の必要条件である。 ここで√aについての判別式を考える。 すると、1+(k^2-1)^2≧0 となるため、kはすべての実数で解の存在条件を満たすことがわかる。 つまり1 ≦ kを満たすすべての実数がkの条件であるため、 kの最小値は1である。 こんな感じですかね?
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
書き込みミス。 (誤)従って、2ab/(a^2+b^2)≧1であるから、c≧(2ab)/(a^2+b^2)≧1. (正)従って、2ab/(a^2+b^2)≦1であるから、c≧1≧(2ab)/(a^2+b^2). ついでに、(3)の答えは、k=√2 だと思うよ。
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
√x=a、√y=bとすると、 a≧0、b≧0. c(x+y)≧2√(xy) → c(a^2+b^2)≧2ab。 a=0、b=0の場合は別に考えるとして、a^2+b^2≠0 の場合は、c≧(2ab)/(a^2+b^2)。‥‥(1) a≧0、b≧0より、相加平均・相乗平均から、a^2+b^2≧2ab ‥‥(2) 等号はa=bの時。 従って、2ab/(a^2+b^2)≧1であるから、c≧(2ab)/(a^2+b^2)≧1. (3)も同じようにすれば解ける。 但し、両辺が正から2乗しても同値だから、(k)^2≧(a+b)^2/(a+b)。→ (k)^2≧1+{(2ab)/(a^2+b^2)}となる。 続きは、自分でやって。但し、計算はチェックしてね。
関連するQ&A
- 数学で解らない問題があるので教えてください。
数学で解らない問題があるので教えてください。 x≧0、y≧0とし、不等式c(x+y)≧2√(x+y)…(*) を考える。 ただし、cは正の定数とする。 (1) c≧1のとき、(*)は常に成り立つことを示せ。 (2) (*)が常に成り立てば、c≧1であることを示せ。 (3) √x +√y ≦k√(x+y)が常に成り立つような正の定数kのうちで、 最小なものはいくらか。 (3)が特にわからず困っています・・・(*_*) (1)、(2)は相加相乗平均を利用するんだと思うのですが。。。
- 締切済み
- 数学・算数
- 相加・相乗平均の関係を使った不等式の証明
不等式の証明で、 x,y,zが正の実数で、xyz>1のとき x^2y+y^2z+z^2x>xy+yz+zx となることを証明せよ、という問題なのですが、 おそらく左辺を3項の相加・相乗平均の関係を使って 左辺≧3xyzを使うのだろうということ以外分かりません。 ご教授お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- x+y≧2√xy
x≧0,y≧0,x^2+y^2=1,のときx+yの最小値を求めよ。 --------------------------------------------------- S君の解答 x≧0,y≧0から相加平均≧相乗平均の関係を使って x+y≧2√xy・・・(*) 等号が成り立つのはx=yのときだからx=y=√1/2のとき よってx+yの最小値は√2 --------------------------------------------------- S君の解答の誤りを指摘せよ。が問題ですが (*)の右辺が定数でないのに「等号が成り立つx=yのとき最小」としているのが誤り。 が解答ですよね。 右辺が定数にならないと相加・相乗はつかってはいけないというのは「知って」います。 (知っているだけでナゼかがわからない) しかし、それだけ(右辺が変数)で解答になるのがどうも納得がいかないというか。 (x≧0,y≧0,x^2+y^2=1,のときx+yの最小値は求められますのでこちらの回答は結構です)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 相加平均、相乗平均の関係
x^2+y^2=2を満たす正の数x、yに対して 2/(x^2)+8/(y^2)の最小値と、そのときのx、yの値を求めよ。 この問題って明らかに相加平均、相乗平均の関係を使う問題ですよね? それをつかって最小値が10になったんですが回答には9となっていました 計算間違いとおもって1時間以上も計算しつづけたんですがやはり最小値が10にしかなりえません この問題で相加平均、相乗平均の関係をもちいることは不可能なのでしょうか?それとも私の計算ミスでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- マセマの合格!数学I・Aについての質問です。
p40の「相加・相乗平均と最大・最小」の(3)についての質問です。 x>0、y>0、x+y=1のとき、次の問いに答えよ。 (3) 1/x+4/y の最小値を求めよ。とあり解答はまず与式にx+yをかけて(∵x+y=1)相加・相乗を使ってるのですが、自分はそのまま与式に相加・相乗を使ってxyの最大値を求め(xyの最大値→1/4)それを代入し最大値を求めたのですが、答えが一致しませんでした。 どうして一致しないのか分かる方がいらっしゃいましたら、ご回答よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 相加相乗平均について
今学校で相加相乗について習っているのですが 3文字の相加相乗で x+y+z≧3(xyz)^(1/3)となるのは解るのですが x+y+zをまず x+yで相加相乗を使い、2(xy)^(1/2)とし、 さらに2(xy)^(1/2)とzでもう一回相加相乗をつかって 2( 2(xy)^(1/2)*z )^(1/2) とするのは間違いなのでしょうか? x+y+z≧3(xyz)^(1/3)では等号はx=y=z x+y+z≧2( 2(xy)^(1/2)*z )^(1/2)では等号はx=y=2zとなってしまいます。 授業では4文字の相加相乗平均a+b+c+dをa+b c+dと分け 2文字の相加相乗を三回使い証明していましたが三文字の場合では違うのでしょうか 自分でいろいろ考えたのですが、よく解りません。 どなたかわかる方宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数