2生産要素の生産関数から供給関数を求める

質問

ミクロ経済の質問なのですが、
ある企業の生産関数をy = x1^1/3 * x2^1/3とする。（yは産出量、x1,x2はそれぞれ生産要素投入量）
生産物価格をp、それぞれの生産要素価格をw1,w2とするとき、
（１）利潤を最大化する生産要素の需要関数を求めなさい。
（２）生産物の供給関数を求めなさい。
という問題の解き方を教えてください。
生産要素が一つの場合はなんとなく理解したのですが、二つになるとよくわかりません。
（２）であれば、費用関数C = w1x1 + w2x2を全微分すればよいのでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

利潤をΠと書くと
Π = py - (w1x1 + w2x2) = px1^1/3・x2^1/3 - w1x1 - w2x2
となるが、Πをx1とx2について最大化する。一階の条件は ∂Π/∂x1 = ∂Π/∂x2 = 0だから
0 = ∂Π/∂x1 = p(1/3)x1^(-2/3)・x2^1/3 - w1
0 = ∂Π/∂x2 = p (1/3)x1^1/3・x2^(-2/3) - w2
よって
(1/3)x1^(-2/3)・x2^1/3 = w1/p
(1/3)x1^1/3・x2^(-2/3) = w2/p
2番目の式をx2について解き、それを1番目の式のx2へ代入すると
x1 = (1/27)(w1/p)^(-2)・(w2/p)^(-1)
を得る（確かめられたい）。同様にして
x2 = (1/27)(w2/p)^(-2)・(w1/p)^(-1)
となる。これらが、それぞれx1とx2の需要関数だ。
これらが求まったら、これらを
生産関数
y = x1^1/3・x2^1/3
の右辺のx1とx2に代入すれば生産物ｙの供給関数が得られる。結果は
y = (1/9)p^2/(w1w2)
となり、これが供給関数だ。
質問があれば、追加コメントをしてください。

お礼

過程まで丁寧にご教授いただいて、非常にわかりやすかったです。
おかげさまで自分でも解けました。ありがとうございました！