ランダウの記号についての関係式について

質問

(e^x-1-sinx)(x-sinx)/x(1-cosx)^2のx→0を求めよという問題なのですが
掲載されている解答を理解できないのでここで質問させてもらいます。

マクローリンの定理を使って
e^x = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)
sinx = x - x^3/6 + o(x^4)
cos = 1 - x^2/2 + o(x^3)
とし(1)
分子＝(x^2/2 + o(x3))(x^3/6 + o(x^4))
=x^5/12 + o(x^5) ------------(2)

分母＝x(x^2/2 + o(x^3))
=x^5 /4 + o(x^6) ----------------(3)

となっていてここで二つの質問があります。
まず(1)ですが
なぜこれは３項までと２項までとを求めているのでしょうか

二つ目に(2)と(3)の式変形に関してなぜこのようになるのかがよくわかりません。

よろしくおねがいします。

回答No.1

trytobe · ベストアンサー

x →０ のときに、x のべき乗は、べき乗の大きいものほど ０ に収束するのが速いので、ランダウの記号で「一番べき乗の小さい＝収束が遅い項の乗数」を示すだけで、無限に続く「さっさと収束する項」を全部「誤差の範囲とみなせるもの」として扱いたいのです。

『マクローリンの定理を使って
e^x = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)
sinx = x - x^3/6 + o(x^4)
cos = 1 - x^2/2 + o(x^3)
とし(1)』

は、そういう冒頭に書いた理由で無限に続く級数を扱いやすい個数にまとめて書いておくためで、分子(2) と 分母(3) の足し引きで消える項をうまく相殺して、残る項をできるだけ減らしてから進めたい、という意図なのです。

その配慮が (1) までの項の残し方で、それを代入することで、分子(2) ＝ (e^x-1-sinx)(x-sinx) は、
『分子＝(x^2/2 + o(x3))(x^3/6 + o(x^4))
=x^5/12 + o(x^5) ------------(2)』

まで簡単な状態からスタートでき（ただし、o(x3)とあるのは o(x^2) の誤記だと思います）、あとは普通に展開したときの、

(x^2/2)(x^3/6) + o(x^2)(x^3/6) + (x^3/6)*o(x^4) + o(x^2)o(x^4) でも、べき乗数が大きいものはランダウの記号でまとめてしまい、

(x^2/2)(x^3/6) + o(x^2)(x^3/6) + (x^3/6)*o(x^4) + o(x^2)o(x^4)
＝ (x^2/2)(x^3/6) + o(x^5) + o(x^7) + o(x^6)
＝ (x^2/2)(x^3/6) + o(x^5)

とまで、項を少なく表記してしまうことにし、分母(3) ＝ x(1-cosx)^2 は、

『分母＝x(x^2/2 + o(x^3))
=x^5 /4 + o(x^6) ----------------(3)』

の、＝x(x^2/2 + o(x^3))^2 の最後の ^2 が抜けてはいますが、それを補って展開すると、
= x^5 /4 + x * o(x^6)
= x^5 /4 + o(x^5)

とまで、項を少なく表記してしまえます。あとは、分子(2) を 分母(3) で割ると、うまくオーダーが揃っていて、定数になることがわかりやすくなるのです。

お礼

とてもわかりやすい回答ありがとうございました

回答No.2

trytobe

分母(3) ＝ x(1-cosx)^2 以降の式が間違ってました。

『分母＝x(x^2/2 + o(x^3))
=x^5 /4 + o(x^6) ----------------(3)』

の、＝ x(x^2/2 + o(x^3))^2 の最後の ^2 が抜けてはいますが、それを補って展開すると、
= x｛(x^2/2)^2 + 2(x^2/2)o(x^3) + o(x^3)^2｝
= x｛(x^4/4) + (x^2)o(x^3) + o(x^6)｝
= x^5 /4 + x o(x^5) + x o(x^6)
= x^5 /4 + o(x^6)

とまで、項を少なく表記してしまえます。あとは、分子(2) を 分母(3) で割ると、うまくオーダーが揃っていて、定数になることがわかりやすくなるのです。

お礼

ありがとうございます