マクローリン級数展開に関する二つの問題の解決方法
- マクローリン級数展開に関する二つの問題、cosx^12の展開とΣ(-1)^n*x^(4n-3)/(2n+1)!と展開されるxの関数の求め方について教えてください。
- （１）cosx^12をマクローリン級数に展開する方法はどうすれば良いでしょうか？試行錯誤しているがうまくいっていない。（２）Σ(-1)^n*x^(4n-3)/(2n+1)!と展開されるxの関数を求める方法が分からない。マクローリン級数の定理を考えてみたが、解答にたどり着けなかった。
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以下の二つの問題がどうしても解けません・・・。
以下の二つの問題がどうしても解けません・・・。 （１）cosx^12をマクローリン級数に展開せよ。 （２）Σ(-1)^n*x^(4n-3)/(2n+1)!と展開されるｘの関数を求めよ。 （シグマはn=0から∞です） （１）は(cosx^12)'=-12x^11*sinx^12 (cosx^12)"=-12*11*x^10*sinx^12-12*12*x^22*cos^12 としたところで、ｘ＝０を代入するとほとんどのものが消えるのですが、-12*12*x^22*cosx^12の部分はｎを∞に持って行ったときには残ってしまいます。いろいろ試してみましたが、まったく上手くいきませんでした。 （２）はマクローリン級数のsinxやcosxなどの定理から考えてみましたが、これも解答にはたどりつけませんでした。 すみませんがどなたかよろしくお願いします。
- sironagisa
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(1) f(x)=cos(x)のマクローリン級数展開をして, xにx^12を代入すればよい。 f(x)=cos(x)=1-(x^2)/2+(x^4)/24-(x^6)/720+(x^8)/40320-(x^10)/3628800+... cos(x^12)=f(x^12) =1-(x^24)/2+(x^48)/24-(x^72)/720+(x^96)/40320-(x^120)/3628800+... (2) f(x)=sin(x)=x-x^3/6+x^5/120-x^7/5040+x^9/362880+... f(x^2)/(x^5)=sin(x^2)/(x^5) =(x^(-3))-x/6+(x^5)/120-(x^9)/5040+(x^13)/362880+... =Σ[k=0,∞]((-1)^n)(x^(4n-3))/(2n+1)!
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お礼
ありがとうございます、置換して代入でよかったんですね。 本当に助かりました。