複素路についての複素積分の問題が分かりません。

質問

添付写真の問題が解けず困っております。
略解を見たのですがいまいち理解出来ません。
どなたかご教示下さい。

回答No.1

bran111

Cの中に特異点はないので

∫(-L→L)e^(-x^2/2)dx+∫(0→k)e^(-(L+iy)^2/2)idy
+∫(L→-L)e^(-(x+ik)^2/2)dx+∫(k→0)e^(-(-L+iy)^2/2)idy
=∫1+∫2+∫3+∫4=0

この積分をL→∞としたときの値を考える。

lim(L→∞)∫1=∫(-∞→∞)e^(-x^2/2)dx＝√(2π)

|∫2|=|∫(0→k)e^(-L^2-2iLy+y^2)/2dy|≦∫(0→k)e^(-L^2+y^2)/2dy≦∫(0→k)e^(-L^2+k^2)/2dy
=ke^(-L^2+k^2)/2

lim(L→∞)|∫2|≦lim(L→∞)ke^(-L^2+k^2)/2=0

|∫4|=|∫(k→0)e^(-L^2+2iLy+y^2)/2dy|=|∫(0→k)e^(-L^2+2iLy+y^2)/2dy|
≦∫(0→k)e^(-L^2+y^2)/2dy≦∫(0→k)e^(-L^2+k^2)/2dy=ke^(-L^2+k^2)/2

lim(L→∞)|∫4|≦lim(L→∞)ke^(-L^2+k^2)/2=0

∫3=∫(L→-L)e^(-(x+ik)^2/2)dx=-∫(-L→L)e^(-(x+ik)^2/2)dx=-∫(-L→L)e^(-x^2-2ik+k^2)/2)dx

lim(L→∞)∫3=-lim(L→∞)∫(-L→L)e^(-x^2-2ik+k^2)/2)dx=-∫(-∞→∞)e^(-x^2-2ik+k^2)/2)dx

以上を∫1+∫2+∫3+∫4=0に代入して

∫(-∞→∞)e^(-x^2-2ik+k^2)/2)dx＝√(2π)

∫(-∞→∞)e^(-x^2-2ik)/2dx|=√(2π)e^(-k^2/2) (1)

フーリェ変換の定義より

F(f(x))= ∫(-∞→∞)e^(-ikx)f(x)dx

F(f(x))は関数f(x)のフーリェ変換を意味する。

f(x)＝e^(-x^2/2)のときそのフーリェ変換は

F(f(x))= ∫(-∞→∞)e^(-ikx) e^(-x^2/2)dx= ∫(-∞→∞)e^(-x^2/2-ikx)dx

(1)より

F(f(x))＝√(2π)e^(-k^2/2)