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積分

ある問題を解いていたら∫「0→π/2」1/4sin^2θcos^2θdθになりましたが、そのあとどうしたら良いのか分かりません。 アドバイスおねがいします。因みに略解にはπ/32でした。

みんなの回答

  • KappNets
  • ベストアンサー率27% (1557/5688)
回答No.4

＜元の問題は∬x^2dxdy(領域は(x^2+y^2)^2≦2xy,y≧0)＞ 変数変換：x=r*cos(u), y=r*sin(u), dx*dy=r*dr*du 積分範囲変換：(x^2+y^2)^2<2xy >>> 0<r<(2*sin(u)*cos(u))^(1/2) 積分範囲変換：y>0 (& x>0) >>> 0<u<pai/2 まず r^3*drを上記積分範囲で積分すると簡単に rmax^4/4=(((2*sin(u)*cos(u))^(1/2))^4/4)=(sin(u)*cos(u))^2 となります。つぎに (sin(u)*cos(u))^2*(cos(u))^2du=(sin(u))^2*(cos(u))^4du を上記積分範囲で積分すると pai/32 となります。この積分はmathematicaにやらせるのが最も簡単。机上では２方法あり、第１案は (sin(u))^2=(1-cos(2u))/2, (cos(u))^2=(1+cos(2u))/2, (cos(2u))^2=(1+cos(4u))/2, (cos(2u))^3=(3cos(2u)+cos(6u))/4 を使って次数を下げ、cos(2u), cos(4u), cos(6u)の積分が0になることを使いますと、 (1/8)*(1-1/2) の積分となり、(pai/2)をかけると上記解が得られます。少し手間はかかりますが、難しくはありません。第２案は tan(u)=z と置くやり方。 du=dz/(1+z^2), (sin(u))^2=z^2/(1+z^2), (cos(u))^2=1/(1+z^2) を代入すると z^2/(1+z^2)^4dz の積分になります。積分範囲は0<z<無限大。面倒だが頑張れば上記の解に辿り着くことが出来ます。もっと楽な方法はないかな？

tonomataro
質問者

お礼

丁寧に回答していただきありがとうございます。 計算してみたら何とかできました。 助かりました。

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  • KappNets
  • ベストアンサー率27% (1557/5688)
回答No.3

sin^2tという書き方は何でしょう？(sin(t))^2ということなのでしょうね。（少し迷いました。） さて (1/2)*(sin(t)*cos(t))^2 dt あるいは (1/2)*(0.5*sin(2*t))^2 dt を0からpai/2まで積分するとpai/32になります。（変形が面倒なのでmathematicaにやって貰いました） (1/4) とあるのが変なのかな。２倍だけ狂います。

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  • exodus55
  • ベストアンサー率39% (21/53)
回答No.2

no.1の方の変形はあっています。元の問題を変形して「∫「0→π/2」1/4sin^2θcos^2θdθ」になったんですよね？これまでに行くまでに間違っているんじゃないでしょうか？元の問題を書いてみてください。

tonomataro
質問者

補足

元の問題は∬x^2dxdy(領域は(x^2+y^2)^2≦2xy,y≧0) です。お手数ですがお願いします。

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  • debut
  • ベストアンサー率56% (913/1604)
回答No.1

2sinθcosθ=sin2θなので、sinθcosθ=(sin2θ)/2 →sinθ^2cos^2θ=(sin2θ)^2/4 それから、sin^2A=(1-cos2A)/2で　A=2θ　とみれば (sin2θ)^2=(1-cos4θ)/2 ということで、 1/4sinθ^2cos^2θ=(sin2θ)^2/16=(1-cos4θ)/32と次数を下げる ことができます。

tonomataro
質問者

補足

確かに次数は下げられましたが計算してみると =∫「0→π/2」1/4sin^2θcos^2θdθ =∫「0→π/2」1/4*(sin2θ)^2/4dθ =∫「0→π/2」(sin2θ)^2/16dθ =∫「0→π/2」(1-cos4θ)/32dθ =[1/32θ-1/128sin4θ]「0→π/2」 になり略解とは合いませんでした。 どういうことでしょうか？

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