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積分
KappNetsの回答
- KappNets
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<元の問題は∬x^2dxdy(領域は(x^2+y^2)^2≦2xy,y≧0)> 変数変換:x=r*cos(u), y=r*sin(u), dx*dy=r*dr*du 積分範囲変換:(x^2+y^2)^2<2xy >>> 0<r<(2*sin(u)*cos(u))^(1/2) 積分範囲変換:y>0 (& x>0) >>> 0<u<pai/2 まず r^3*drを上記積分範囲で積分すると簡単に rmax^4/4=(((2*sin(u)*cos(u))^(1/2))^4/4)=(sin(u)*cos(u))^2 となります。つぎに (sin(u)*cos(u))^2*(cos(u))^2du=(sin(u))^2*(cos(u))^4du を上記積分範囲で積分すると pai/32 となります。この積分はmathematicaにやらせるのが最も簡単。机上では2方法あり、第1案は (sin(u))^2=(1-cos(2u))/2, (cos(u))^2=(1+cos(2u))/2, (cos(2u))^2=(1+cos(4u))/2, (cos(2u))^3=(3cos(2u)+cos(6u))/4 を使って次数を下げ、cos(2u), cos(4u), cos(6u)の積分が0になることを使いますと、 (1/8)*(1-1/2) の積分となり、(pai/2)をかけると上記解が得られます。少し手間はかかりますが、難しくはありません。第2案は tan(u)=z と置くやり方。 du=dz/(1+z^2), (sin(u))^2=z^2/(1+z^2), (cos(u))^2=1/(1+z^2) を代入すると z^2/(1+z^2)^4dz の積分になります。積分範囲は0<z<無限大。面倒だが頑張れば上記の解に辿り着くことが出来ます。もっと楽な方法はないかな?
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