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積分可能性についての問いです。
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連続であれば微分不可能でも積分可能です 例) f(z)=|z| z=x+iy とすると f(z)=√(x^2+y^2) だから g(x,y)=f(z)=√(x^2+y^2) とすると gの(0,0)でxについての偏微分をg_x(0,0) yについての偏微分をg_y(0,0)とする g_x(0,0)= =lim_{h→0}{g(h,0)-g(0,0)}/h =lim_{h→0}(√h^2)/h =lim_{h→0}|h|/h g_y(0,0)= =lim_{h→0}{g(0,h)-g(0,0)}/h =lim_{h→0}|h|/h ↓ lim_{h→+0}|h|/h=1 lim_{h→-0}|h|/h=-1 だから g_x(0,0),g_y(0,0)は確定しないので g(x,y)=f(z)はz=0で偏微分不可能 z=0で(偏)微分不可能だけれども z=0を含む積分区間で積分可能 ∫_{-1~1}|z|dz =∫_{-1~0}(-z)dz+∫_{0~1}zdz =[-z^2/2]_{-1~0}+[z^2/2]_{0~1} =+1/2+1/2 =1
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- muturajcp
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連続であれば微分不可能でも積分可能です f(z)=1-|z| z=x+yi とすると f(z)=1-√(x^2+y^2) f_x=-x/√(x^2+y^2)=-x/|z| f_y=-y/√(x^2+y^2)=-y/|z| z=0で(偏)微分不可能だけれども z=0を含む積分区間で積分可能 ∫_{-1~1}(1-|z|)dz =∫_{-1~0}(1+z)dz+∫_{0~1}(1-z)dz =[z+z^2/2]_{-1~0}+[z-z^2/2]_{0~1} =+1/2+1/2 =1
お礼
御回答を誠に有難う御座います。
補足
数学はド素人ですので、f_x, f_y とは何であり、偏微分とどう関わっており、どの様にして御計算なさったかをお教え下さいますでしょうか。
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お礼
またまた御回答を誠に有難う御座いました。