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対数と極限についてです
lim[x→0]logf(x)=logaが成立するとき lim[x→0]f(x)=a が成立する理由は何ですか? 一般には極限と交換はできないと思います。 例えば極限と積分など(項別積分?だっけ) 対数の場合はどういった理由で交換できるのですか?
- noname2727
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- k14i12d
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そう。 つまり、logf(x)=loga のとき、f(x)=a以外に上式を満たすことができないからf(x)→aが言えるってこと、sinやcosの場合他の対応関係(収束値の可能性)も考えられるでしょ?ってこと。
- k14i12d
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全単射じゃなくてもよいが、単射である必要はある。例えば、x→∞でsinf(x)が1/2に収束したところで、f(x)→π/6とは言えませんよね。
補足
ちょっとよくわからないですけど、 あるnが存在して f(x)=π/6 + 2nπ または 5π/6 + 2nπ と表せるということですか?
- k14i12d
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#2の通り、指数対数の連続性と、あと一つ、0<xでxとlogxが一対一対応(ここでは全単射)だからです。
補足
全単射性はなぜ必要なのでしょうか?
- Tacosan
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式だけで追っていくと難しいかもしれない. #2 への補足にある式でも, 実は e^(limlogf(x))=lime^(logf(x)) のところが微妙にあやしいし. 極限の定義 (と指数関数の連続性) から導けることは間違いない (はず: 私が勘違いしていなければ) んだけど... 極限の定義は出てきてます?
補足
極限の定義は出てきてます?とはどういうことでしょうか?
- Tacosan
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指数関数が定義域で連続だから.
補足
指数関数の連続性をどう使うのですか? a=e^(loga)=e^(limlogf(x))=lime^(logf(x))=limf(x) ということですか? なんかこの式から成立するような気がします。
- naniwacchi
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移項して、 lim log{ f(x) }- log(a) = lim [ log{ f(x) }- log(a) ] = lim [ log{ f(x)/a } ] より、 lim [ log{ f(x)/a } ]= 0 よって、f(x)/a→ 1となり、f(x)→ a (x→0)ではダメですかね?
お礼
a=0は含みませんでした、すみません 解答ありがとうございます。
補足
lim [ log{ f(x)/a } ]= 0 よって、f(x)/a→ 1となり とありますがその理由が知りたいのです またこの場合a=0のときを特別視する必要があります。
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