- ベストアンサー
極限値です
lim[x→0] (a^x-1)/x (a>0) ロピタルの定理を使わずに解く場合、 f(x)=a^xとおいて lim[x→0] (a^x-a^0)/(x-0)=f'(x) f'(x)=a^xlogaから f'(0)=loga としたら、f'(x)=a^xlogaのような公式を導くには lim[x→0] (a^x-1)/xを計算することが必要とテストで指摘されました。答えはあっていると思います。この解法でなければどのように解くのでしょうか。
- syokupan100
- お礼率58% (7/12)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数3
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 極限値
f(x)=e^(-1/2)/x^2 について、 lim[x→+0] f(x) が求まりません。 私はまず対数を取って、 logf(x)=-(2xlogx+1)/x ・・・ (1) 次にロピタルの定理より、 lim[x→+0] logf(x)=lim[x→+0] -2(logx+1)=+∞ ・・・ (2) ∴lim[x→+0] f(x)=e^(+∞)=+∞ このように解きました。 しかし、(1)式によれば、lim[x→+0] xlogx=0 より、lim[x→+0] logf(x)=-∞ 、 lim[x→+0] f(x) = e^(-∞) = 0 となってもよさそうなものです。(但しこの場合は(1)式右辺の分母について、lim[x→+0] x=0 より、数学的に正しくないと思われる) 実際にy=f(x)をコンピュータでプロットした結果は、lim[x→+0] f(x) = e^(-∞) = 0 となりましたが、(1)式からロピタルの定理によって(2)式を導出することになんらかの問題があったのでしょうか？ 繰り返しますが、(1)式からロピタルの定理を用いて lim[x→+0] f(x) を求められない問題について、質問致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限値が存在する場合
以下の問いの解答がなく、自分の解き方が正しいのか不安ですので、確認していただきたく思います。 [問い] 極限値lim(X→0) (expX－aX－b)/X**2が存在するような定数a, bを求めよ。 [my答案] 分母のX２乗はゼロになるので、分子もゼロとなり、不定形になると思いました。そしてロピタルの定理を適用しました。 ・分子もゼロになるので、Xにゼロを代入するとb=1 ・次にロピタルの定理をてきようするため、分母と分子をそれぞれｘで微分する。lim(X→0) (expX-a)/2X =1/2 lim(X→0) (expX－a)/X ここで公式lim(X→0) (expX－1)/X =1を適用する。 するとa=1となる。 以上より、答えはa=1, b=1になると思います。 これで大丈夫でしょうか。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限値の問題がよく分かりません・・・
極限値の問題では（lim）どの時点で答えと決定してよいのか分かりません・・。何も変化させないままlimの下の数字を代入して、０/０ならロピタルの定理などを使って、答えを導くというのはなんとなく分かるのですが、何も変化させないままlimの下の数字を代入して、０/１や１/０になる時はそのまま答えを０として良いのでしょうか？ （説明が下手でスイマセン・・・） また、 lim(X→０)Ｘ・logＸ の出し方が分かりません。 上の疑問と同じで、Ｘ・logＸを何も変化しないまま０に近づけると（代入すると）答えは０になりますが、そのまま答えにして良いのでしょうか？ それとも、logＸ／（１/Ｘ）に変化し、ロピタルの定理を使い、０と導くのでしょうか？ どこで変化または微分（ロピタルの場合）をストップさせていいのかが、よく分かりません。 誰か教えて頂けないでしょうか？ お願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
lim[x→0](e^t-1)/tの形に直せたんですね。 どうもありがとうございます。