極限値

質問

f(x)=e^(-1/2)/x^2 について、 lim[x→+0] f(x) が求まりません。

私はまず対数を取って、

　logf(x)=-(2xlogx+1)/x　・・・　(1)

次にロピタルの定理より、

　lim[x→+0] logf(x)=lim[x→+0] -2(logx+1)=+∞ ・・・ (2)
　∴lim[x→+0] f(x)=e^(+∞)=+∞

このように解きました。
しかし、(1)式によれば、lim[x→+0] xlogx=0 より、lim[x→+0] logf(x)=-∞ 、 lim[x→+0] f(x) = e^(-∞) = 0 となってもよさそうなものです。(但しこの場合は(1)式右辺の分母について、lim[x→+0] x=0 より、数学的に正しくないと思われる)
実際にy=f(x)をコンピュータでプロットした結果は、lim[x→+0] f(x) = e^(-∞) = 0 となりましたが、(1)式からロピタルの定理によって(2)式を導出することになんらかの問題があったのでしょうか？

繰り返しますが、(1)式からロピタルの定理を用いて lim[x→+0] f(x) を求められない問題について、質問致します。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

>f(x)=(e^(-1/2))/x^2
なら
　lim[x→+0] f(x) = 0

>f(x)=e^((-1/2)/x^2)
なら
>私はまず対数を取って、
>　logf(x)=-(2xlogx+1)/x　・・・　(1) ←間違い
　logf(x)=(-1/2)/x^2　・・・　(1)
　lim[x→+0] log(f(x))= -∞
　lim[x→+0] f(x)=e^(-∞) = 0

>f(x)=(e^(-1/x))/x^2 なら
>私はまず対数を取って、
>　logf(x)=-(2xlogx+1)/x　・・・　(1)
>次にロピタルの定理より、

ロピタルの適用条件を満たしていないので、ここではロピタルの定理は使えません。
なので以下の計算はしても何の意味もありません（つまり間違い）。

>　lim[x→+0] logf(x)=lim[x→+0] -2(logx+1)=+∞ ・・・ (2)
>　∴lim[x→+0] f(x)=e^(+∞)=+∞

>しかし、(1)式によれば、lim[x→+0] xlogx=0 より、lim[x→+0] logf(x)=-∞ 、 lim[x→+0] f(x) = e^(-∞) = 0 となってもよさそうなものです。

よさそうではなく、そうなるべきです。

>(但しこの場合は(1)式右辺の分母について、lim[x→+0] x=0 より、数学的に正しくないと思われる)

数学的に正しいです。極限をとること「lim[x→+0] x=0」はあくまでx≠0であってxを限りなく0に近づけることであって、xに0を代入することではありません。

>実際にy=f(x)をコンピュータでプロットした結果は、lim[x→+0] f(x) = e^(-∞) = 0 となりましたが、
>(1)式からロピタルの定理によって(2)式を導出することになんらかの問題があったのでしょうか？

ロピタルの定理の前提となる適用条件を満たしていない、にも拘わらず、ロピタルの定理を適用したことに問題があります。

>繰り返しますが、(1)式からロピタルの定理を用いて lim[x→+0] f(x) を求められない問題について、質問致します。

ロピタルの適用条件
　極限を取る際、関数の|分子|/|分母|が0/0型または∞/∞型の不定形であること。

今回のケースは
　(1)の分子の極限は「-1」,分母の極限は「+0」で関数の|分子|/|分母|が　1/0型で不定形条件を満たしていませんね。「ロピタルの定理の適用条件を満たしていないケースに、ロピタルの定理を適用した」ところに問題があったということです。

お礼

まず、f(x)の定義ミスについて、すいませんでした。

なるほど、確かにlogf(x)=-(2xlogx+1)/xはロピタルの定理の適応条件を満たしていませんでした。うっかりです。
また、高校の教科書に載っている公式に、

　lim[x→a] f(x)=α かつ lim[x→a] g(x)=β ならば lim[x→a] f(x)/g(x) = α/β (ただしβ≠0)

というのがありまして、これと

　>(但しこの場合は(1)式右辺の分母について、lim[x→+0] x=0 より、数学的に正しくないと思われる)

これを混同していたようです。ご指摘のとおり、あくまで0に近づけるんですよね、いやあ、分かってはいたつもりなのですが・・・・・・

ありがとうございました。

回答No.3

NemurinekoNya

f(x) = e^(-1/x)/x^2
ならば、t = 1/xとおいて、
e^(-1/x)/x^2 = e^(-t)・t^2 = t^2/e^t

x→+0ならばt→∞

t→∞のときの、t^2/e^tの極限を求める。
そして、ロピタルの定理を二回使う。
lim[t→∞] t^2/e^t = lim[t→∞] (2t)/e^t = lim[t→∞] 2/e^t = 0

お礼

f(x)の定義ミスについて、すいませんでした。(x) = e^(-1/x)/x^2で正しいです。酌量に感謝します。

logf(x)=-(2xlogx+1)/xではロピタルの定理が利用できないということでしたが、上手く置き換えることによって、利用できるように変形できるわけですね。勉強になりました。ありがとうございました。

回答No.1

spring135

>f(x)=e^(-1/2)/x^2 について、 lim[x→+0] f(x) が求まりません。

f(x)=e^(-1/x)/x^2 の間違いですか

補足

すいません、そうでした。f(x)=e^(-1/2)/x^2ではなくf(x)=e^(-1/x)/x^2が正しいです。ご指摘ありがとうございました。