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複素数
(1) x=1＋√3iのとき、(x＾4)＋(-2x＾2)＋5x-3の値を求めるとき、 ((1＋√3i)＾2)・((1＋√3i)＾2)-(2(1＋√3i)＾2)＋5(1＋√3i)-3と計算すると 答えは4＋√3iになってしまって合ません。 (2) X=2＋√3i,y=2-√3iのとき、(x＾3)＋(y＾3)の値を求めるとき、 (x＾3)＋(y＾3)=(x＋y)((a＾2)-ab＋(b＾2)) に代入して (x＋y)=4 ((a＾2)-ab＋(b＾2))=15 15×4=60 になってしまって答えがあわないです。 教えてください。
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- TK0318
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- mickel131
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この問題は、「がんばって計算しなさい。」、という問題ではなくて、よく知られている工夫によって「計算を楽にして計算しなさい」という問題です。 「そのうまいやり方を知ってるかな？」という問いです。 闇雲に計算しても間違うことが多いものです。「答えがあわない」のは計算間違いしただけです。 楽に計算する方法は、 （２）では、 （ア）x + y と xy を先に求める。 （イ）問題の式 (x＾3)＋(y＾3) を x + y と xy だけで表す。 （ウ）アで求めた値をイの式に代入する。 という手順でやります。 イは、次の公式を使います。 (x＾3)＋(y＾3)＝（x + y ）^3 - 3xy（x + y ） この式は、（x + y ）^3 の展開の公式から作ります。 （x + y ）^3 ＝(x＾3)＋3(x^2)y+3x(y^2)+(y＾3) はご存知でしょう？これは、順序を入れ替え、 （x + y ）^3＝(x＾3)+(y＾3)＋3(x^2)y+3x(y^2) （x + y ）^3＝(x＾3)+(y＾3)＋3xy（x + y ） として覚えておきます。3xy（x + y ）を移項して、上の公式が出来ます。 （x - y ）^3 についても同じ変形をすると、 x^3 - y^3 =（x - y ）^3 - 3xy（x - y ） が作れます。ぜひやってみてください。 （１）は、「商と余りの関係式」の利用です。 ７÷３＝２・・・１ このとき、元の７は３と２と１を使って、 ７＝３＊２＋１ と表せますね。割り算の答え２を「商」、１を「余り」と呼びますね。残った３と７にも名前を付けましょう。 ３は「割る数」と呼ぶから、元の７は「割られる数」と 呼ぶべきですね。 そうすると、 「割られる数」＝「割る数」＊「商」＋「余り」 です。これを「商と余りの関係」と呼びます。 「数」のところを「式」に変えても成り立ちます。 [(1)なのですが ｛(x＾4)-(2x＾2)＋5x-3｝÷｛ｘ＾２－２ｘ＋４ ｝は商が(x＾2)＋4x＋8で余りが29x＋13でした。] これに当てはめて式を立ててみましょう。 割られる式は、どれです？割る式は？ できた式に x^2+2x-4 =0 を代入します。すると、割る式×商のところが０になって、計算が簡単になるという仕掛けです。あとは、 余りの式の x に値1＋√3iを代入するだけです。
補足
(2)の問題はわかりました。 ありがとうございます。 (1)なのですが、なんど計算をしても ｛(x＾4)-(2x＾2)＋5x-3｝÷｛ｘ＾２－２ｘ＋４ ｝は商が(x＾2)＋2x-2で余りが7x＋5となり。 7(1＋√3i)＋5=12＋7√3i となり。 本当の答えは22＋17√3i なので一致しません。 どこが悪いのでしょうか
- TK0318
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- rindaryu
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（１） x=1＋√3i なので ｘ－１＝√３i 両辺を２乗して ｘ＾２－２ｘ＋１＝－３ ｘ＾２－２ｘ＋４＝０ これで与式を割ってあげて、余りを考えればいいですよね。 （２） そういう因数分解をするから、わかりにくくなります。 与式＝（ｘ＋ｙ）＾３－３ｘｙ（ｘ＋ｙ） とすれば、どうでしょうか。
補足
さっそくの返答ありがとうございます。 (1)なのですが(x＾4)-(2x＾2)＋5x-3 ÷ ｘ＾２－２ｘ＋４ は商が(x＾2)＋4x＋8で余りが29x＋13でした。 余りをどうやって利用するのですか？ それから (2)は 与式=(2√3i)＋(2-√3i))＾3)-3(2＋√3i)・(2-√3i)(2＋√3＋2-√3i)で求めればいいのですか？ すこし複雑のようなかんじがしますが。。
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