ゲーム理論

質問

N 人のプレイヤーによる次のようなゲームを考える(N ≥ 2).各プレイヤーにはまず最 初に 1000 円が与えられる.各プレイヤーは,これを保持する(R)か,募金する(C)かを同時 手番で選択する.募金されたお金は合計して 2 倍に増額された後,Rを選んだかCを選んだかに関 わらず,すべてのプレイヤーに均等に山分けされる.

１.一般に N ≥ 3 のとき,ナッシュ均衡になる戦略の組をすべて明らかにしなさい.
2．なぜ 1.で述べた戦略の組はナッシュ均衡になるのか.「支配戦略」という言葉を用いて,直 観的に説明しなさい.
3.このゲームを実際に被験者にプレイさせる実験を行うと,必ずしも1.のようなナッシュ均衡の 戦略がとられないという結果がしばしば観察されるという。実験の結果がナッシュ均衡 に一致しないとすれば,それはなぜだと考えられるか.自分の考えを述べなさい.

以上です。1.は3人以上のプレイヤーのナッシュ均衡の考え方、表記の仕方がわからず苦戦しています。2.は支配戦略＝相手がどの戦略できても最適である戦略、という言葉を1.を踏まえた上でどう使えばいいのかわからずにまた苦戦中、3.はおそらくフリーライダーの話でせめていけばいいのかな、と思いながらもどう書けばいいのかわからない状態です。
どうかお力添え頂ければと思います。よろしくお願い致します。

回答No.2

statecollege · ベストアンサー

プレイヤーiの戦略をx(i)と書くと、x(i)∈｛R,C｝, i =1,2,3.となりますね。プレイヤ―の数が2人の場合は利得表を作ると便利ですが、3人以上の場合はあまりうまくいかない。プレイヤーの利得関数は、プレイヤー１の利得(pay-off)をP(i)と書くと

P(1) = ２[x(1) + x(2) + x(3)]/3 - x(1) = [2x(2) + 2x(3) ）- x(1)]/3

と書けるが（なぜ？）、プレイヤー２，３の利得も同様に

　　 P(2) = [2x(3) + 2 x(1) - x(2)]/3

　　 P(3) = [2x(1) + 2x(2) - x(3)]/3

となる。ただし、利得を計算するとき、R=0、C =1000と計算する。この利得関数をながめるとすぐわかるように、各プレイヤーiにとって、ほかのプレイヤーの戦略が何であっても、それらの戦略を所与とするとき、x(i)＝Rを選択すれば、利得は最大化される（なぜ？）したがって、このゲームには各プレイヤーに支配戦略が存在し、x(i)＝Rである。支配戦略があるとき、誰もが支配戦略を選択するので、ナッシュ均衡は支配戦略の組

　　(x(1),x(2),x(3) = (R,R,R)

となり、各プレイヤーの利得はゼロである。つまり、全員が「保持」を選ぶ結果、自分の取り分は配分された1000円以上には増えないことになる。（皆が協力してCを選択するなら、すなわち、x(1)=x(2)=x(3)=Cなら、各プレイヤーの利得はP(1)=P(2) =P(3)＝2000/3、配分された1000円にこれだけの金額を余計に得られるのに利己的に行動する結果、最適でない結果におちいってまう（囚人のジレンマ）。プレイヤーの数をN≧３の場合も同じように分析できる。

補足

２*（全員分の戦略で支払われた金額の合計）/人数の合計-プレイヤー１がその戦略で支払った金額＝二倍された後の資金が一人一人に配分されるときの金額-プレイヤー１の支払った金額＝収入-費用＝利得　
ということですね。
そして全員が出資すれば多くの利益を得られるのにも関わらず、Ｒをとれば絶対に損はしないわけだから(もしほかのプレイヤーが出資すれば自分が得するし、全員が保持Ｒを選択しても損はしない)のでナッシュ均衡は

　(x(1),x(2),x(3) = (R,R,R)

になるという解釈でしょうか。

回答No.4

statecollege

以下の回答２に対する補足質問に答えましょう。

＞
1/2|　　R　　　 | C
---|--------------|---------　　
R |(1000,1000) 　|(2000,1000)
　　| |
---|--------------|-----------
C |(1000,2000) |(2000,2000)

という利得表になると思います。

いいえ、N=2のときは以下のような利得表になるはずです。

R C
R　0, 0 1000, 0
C 0, 1000 1000, 1000
(注。表がうまく書けません。一番上の欄はRとCが並び、そのRの下には(0，0)、（０，１０００）と縦にならび、Cの下には（１０００，０）と（１０００，１０００）と縦にならびます。原稿の段階ではこのように書かれているのですが、「確認する」のボタンを押すと、乱れてしまいます！！）

回答2で書いたように、利得関数はこの場合

P(1) = 2[x(1) + x(2)]/2 - x(1) = x(2)
P(2) = 2[x(2) + x(1)]/2 - x(2) = x(1)

となるからです。したがって、私の表のようになるのです（N=2のときは右辺の分母が２に変わることをお忘れなく！）

この場合は、ナッシュ均衡は（R,R), (R,C), (C,R), (C,C)の４つあります。つまり、どの組もナッシュ均衡です。だから、問題でプレイヤーの数はN≧３と設定してあるのです。Nが３以上の場合はナッシュ均衡は一意に定まります。回答２を見てください。

お礼

やはり全部ナッシュ均衡なのですね…
実は質問した問題の前にプレイヤーが2人のときのナッシュ均衡をもとめよ、という問題がありまして、そこでもすべてナッシュ均衡なのでは、と思ったもののうまく説明できていませんでした。
わかりやすい説明で、非常に助かりました。また質問することがあるかと思いますので、よろしくお願い致します

回答No.3

statecollege

>1.は3人以上のプレイヤーのナッシュ均衡の考え方、表記の仕方がわからず苦戦しています。

戦略の組は、各プレイヤーの戦略が互いにほかのプレイヤーの戦略の最適反応となっているとき、ナッシュ均衡といいます。
あるいは同じことですが、戦略の組は、各プレイヤーが自分だけその組から逸脱しても、自分の利得が増えないとき、ナッシュ均衡です。この定義はプレイヤーの数が2人であっても、3人であっても、N（≧3）人であっても変わりません。ナッシュ均衡の表記は戦略の組で表わします。たとえば、回答２で書いたように、x(i)がプレイヤーiの戦略とするなら、(x(1),x(2),・・・,x(N))で表わします。したがって、戦略の組(x(1),x(2),・・・,x(N))=(R,R,・・・,R)は、すべてのプレイヤーが戦略Rをとることを意味しています。

＞2.は支配戦略＝相手がどの戦略できても最適である戦略、という言葉を1.を踏まえた上でどう使えばいいのかわからずにまた苦戦中

あるゲームで、あるプレイヤーに支配戦略があるなら、ほかのプレイヤーがどんな戦略を選択しても、当該プレイヤーの最適反応は支配戦略だから、支配戦略をかならずとることになります。

お礼

表がおかしくなっていますが、仕切りの線は無視していただけるとわかりやすいかと思います。すみません……

補足

＞戦略の組は、各プレイヤーが自分だけその組から逸脱しても、自分の利得が増えないとき、ナッシュ均衡です。この定義はプレイヤーの数が2人であっても、3人であっても、N（≧3）人であっても変わりません。

このゲームのプレイヤーが二人であるときを考えた時

1/2|　　R　　　 | C
---|--------------|---------　　
R |(1000,1000) 　|(2000,1000)
　　| |
---|--------------|-----------
C |(1000,2000) |(2000,2000)

という利得表になると思います。
この場合、「各プレイヤーが自分だけその組から逸脱しても、自分の利得が増えない」という意味ではナッシュ均衡はどう考えればいいのでしょうか。各プレイヤーはどの組み合わせにおいても相手の戦略に依存してしており、その意味では全部が「各プレイヤーが自分だけその組から逸脱しても、自分の利得が増えない」ように見えるのですが……

回答No.1

statecollege

#1を解くためには、(1)各プレイヤーの戦略は何か？(2)各プレイヤーの戦略集合は？そして、(3)各プレイヤーの利得は自分の戦略とほかのプレイヤーの戦略を用いてどういう風に表わせるか（つまり、各プレイヤーの利得関数はどうなるか）？がわからないと、このゲームのナッシュ均衡は求められない！まず、この3つの問についてプレイヤーの数が３人のとき―3人のプレイヤーをプレイヤー1、プレイヤー2、プレイヤー3とするとき―答えてみてください。（これができればN（≧3)人以上のプレイヤーに拡張するのは簡単です。）

補足

なるほど…利得関数を求めるのですね…
しかし2人より多い利得関数の求め方がわからないのですが…
Pi＝{R，C}、Pii＝{R，C}、Piii＝{R，C}で表をかいてみたんですが、全部で2×2×2＝8パターンあり、そのぶんの各プレイヤーの利得をまとめてみました。
その後はどうしたらいいですか?