一回微分と二回微分の式から位置を求める

質問

物理の二次元での空気抵抗がある問題が出されて式は
x軸では m・d^2/dt^2= -mk(dx/dt) y軸では　-mg-mky(dy/dt)
という式は立てられました。
しかし恥ずかしいことにちゃんと積分をした結果を出すことができません。

m,g,kはそれぞれ定数だとすると

x軸は

d^2x/dt^2 = -k dx/dt

これを一回積分すると

dx/dt = Ce^-kt

で初期条件より　t=0 v=V_xより

v = V_x e^-kt

そしてこれをさらに積分して

x = (-V_x/k) e^-kt +C
Cは初期条件よりV_x/k

よって

x = V_x/k (1-e^-kt)
と出せたのはいいのですが

yについてがまったくもって導出の仕方がわかりません。

答えは

α = -g-k(dy/dt)

v = -g/k + (V_y + g/k)e^-kt

y = (-g/k)t + (1/k)(V_y + g/k)(1-e^-kt)

となっていました。

このyの積分の方法を導出までの計算方法をちゃんと丁寧に説明しているサイトなどがあればお教えいただきたく存じます。

また大変ご面倒をおかけしますが可能ならばこちらにy軸における導出の計算過程をお教えいただければ幸いです。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

m(d^2y/dt^2) = -mg - mk(dy/dt) なんですね？
α = とか v = とか、変な略し方をするから、式変形を見失うのでは？
v = dy/dt と置くならば、dv/dt = - g - kv です。

w = g + kv と置き換えると、(dw/dt)/k = -w で、
x の方程式が解けたのなら、これも w = C e^(-kt) と解けるでしょう。
v の式に戻せば、v = (1/k){C e^(-kt) - g} です。
もし、t = 0 のとき dy/dt = V_y であれば、C = g + k V_y。

dy/dt = -g/k + (g/k + V_y)e^(-kt) となるので、これを積分すれば、
y = Y_0 - (g/k)t + (g/k + V_y)(1/k){1 - e^(-kt)} です。
もし、t = 0 のとき y = 0 であれば、Y_0 = 0。
後半の処理も、x のときと一緒ですね。

お礼

ありがとうございます。ちゃんと微分の式で表記して表せるようこころがけます。

回答No.2

Tacosan

おっと, y を忘れた. md^2y/dt^2 = -mg-mk(dy/dt) じゃないとおかしい.

で, これは dy/dt に関して変数分離形.

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

確認ですが, 式は
md^2/dt^2 = -mg-mky(dy/dt)
であってますか? ひょっとして
md^2/dt^2 = -mg-mk(dy/dt)
だったりしませんか?

お礼

md^2/dt^2 = -mg-mk(dy/dt)
です。ご指摘ありがとうございます。ご指導よろしくお願い申し上げます。

補足

md^2/dt^2 = -mg-mk(dy/dt)
です。すみません。おっしゃるとおりで入力間違いです。
md^2/dt^2 = -mg-mk(dy/dt)
でお願い申し上げます。