微分方程式で式の変形 空気抵抗を受ける物体の落下

質問

質量mの物体が速度の2乗に比例する空気の抵抗を受けながら落下する問題を考えよう。
鉛直上向きにy軸をとり、時間をtとすると、速度はdy/dtで表される。重力加速度の大きさをg, 抵抗力を係数をkとすると、運動方程式は次のようになる。
m (d^2y)/(dt^2) = -mg + k(dy/dt)^2
この方程式にはyが含まれていない。

速度を v = dy/dt とおけば、(d^2y)/(dt^2) = dv/dt であるから、運動方程式(2.19)は次のようにvについての1階の微分方程式に帰着される。
dv/dt = -g + k/m v^2　　　　　(2.20)

この微分方程式は、次のように変数分離形の1階常微分方程式であり
1/ (v^2 - mg/k) dv/dt = k/m

両辺をtで積分すると
1/{2√(mg/k)} ∫[1/{(v-√(mg/k)} - 1/{(v+√(mg/k)}] dv = k/m ∫dt
log |{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}| = 2√(kg/m)t + C　　　　　(2.21)

ここで、t=0 で v=0 として物体の落下だけを考えることにすると、y軸は鉛直上向きを正の方向としているので t>0 では
v=dy/dt<0
dv/dt<0
となる。
したがって、式(2.20)から0<-v<√(mg/k)であることがわかり、式(2.21)からvは次のようになる。
v=dy/dt
= -√(mg/k) * [1-e^{-2√(kg/m)t - C}] / [1+e^{-2√(kg/m)t - C}]　　　　　(2.22)

・・・と本に書いてあるんですが、どうやってこの(2.22)を導き出したのかが分かりません。

勘でやってみますと、
log |{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}| = 2√(kg/m)t + C　　　　　(2.21)
の両辺でeをとって
e^[log |{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}|] = e^{2√(kg/m)t + C}
|{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}| = e^{2√(kg/m)t + C}
|{v-√(mg/k)}| = e^{2√(kg/m)t + C} * |{v+√(mg/k)}|

やっぱり分かりません。教えてください。お願いします。

回答No.2

suko22 · ベストアンサー

＞log |{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}| = 2√(kg/m)t + C　　　　　(2.21)

＞ここで、t=0 で v=0 として物体の落下だけを考えることにすると、y軸は鉛直上向きを正の方向としてい＞るので t>0 では
＞v=dy/dt<0
＞dv/dt<0
＞となる。
＞したがって、式(2.20)から0<-v<√(mg/k)であることがわかり、式(2.21)からvは次のようになる。
＞v=dy/dt
＞= -√(mg/k) * [1-e^{-2√(kg/m)t - C}] / [1+e^{-2√(kg/m)t - C}]　　　　　(2.22)

＞・・・と本に書いてあるんですが、どうやってこの(2.22)を導き出したのかが分かりません。

0<-v<√(mg/k)より、（2.21）の左辺は絶対値が外れて、
（左辺）=log[-{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}]（∵分子がマイナスになるから）

（2.21）に戻すと
log[-{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}]= 2√(kg/m)t + C
logy=a⇔y=e^aで変形。
-{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}=e^(2√(kg/m)t + C)
-v+√(mg/k)={v+√(mg/k)}e^(2√(kg/m)t + C)
(e^(2√(kg/m)t+1)v=√(mg/k){1-e^(2√(kg/m)t + C)}
v=√(mg/k){1-e^(2√(kg/m)t + C)}/(e^(2√(kg/m)t+1)
分子分母にe^(-2√(kg/m)t - C)をかけると
v=√(mg/k){e^(-2√(kg/m)t - C)-1}/{1+e^(-2√(kg/m)t - C)}
=-√(mg/k){1-e^(-2√(kg/m)t - C)}/{1+e^(-2√(kg/m)t - C)}

見にくいかな？紙に書き出すなり、定数を文字に置き換えるなりして式変形を追っていってください。

お礼

ありがとうございます。

＞　0<-v<√(mg/k)より、（2.21）の左辺は絶対値が外れて、
＞　（左辺）=log[-{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}]（∵分子がマイナスになるから）

なるほど、元々、{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}の絶対値を求めようとしていたけど、vがどんだけ大きいか分からなかった。だから、√(mg/k)よりも大きくなった場合も考えていた。しかし、√(mg/k)よりは大きくならないと判ったんで、v-√(mg/k)の結果、分子はマイナスと確定されて、絶対値を外す代わりに負の符号を付けた、という感じですね（多分）。
ここまでで約30分かかりました。(^^ゞ

「（2.21）に戻すと」以降は、お陰様で順調に解けました。
「分子分母にe^(-2√(kg/m)t - C)をかけると」は自力では思い付かなかったと思います。
あれだけゴチャゴチャやっても最後にはきれいな形になるから数学（物理？）は不思議です。
ありがとうございました！

回答No.1

spring135

この問題は式（2.21）が求められれば大半は終了です。
式（2.21）は求められたとして式（2.22）への変形を示します。

log |{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}| = 2√(kg/m)t + C　　　　　(2.21)

p=√(mg/k)}と置く。なお式（2.21）の絶対値記号は不要である。

log{(v-p)/(v+p)} = 2(pk/m)t+ C　

(v-p)/(v+p) =ce^(2(pk/m)t)

vについて解いて

v=p(1+ce^(2(pk/m)t))/(1-ce^(2(pk/m)t)

t=0のときv=0よりc=-1

ＱＥＤ

今気が付いたが式(2.22)は初期条件が入っていません。

お礼

ありがとうございます。
式（2.21）については既に自力で求められていました。
でも、「vについて解いて」の部分が自力では無理でした。
ありがとうございました。