平行四辺形の問題です

質問

前の続きなのですが・・・。
平行四辺形ＡＢＣＤがあり辺ＡＢを2：3に分ける点Ｅ、線分ＤＥと対角線ＡＣの交点をＦ
対角線ＡＣの中点をＧとします。

平行四辺形ＡＢＣＤの面積は△ＡＥＦの面積の何倍ですか？

この問題なのですが、中学生レベルでの考え方と答えをお願いします。

回答No.3

j-mini27 · ベストアンサー

No2です。
⋇はかけ算のつもりです。
×だと文字式のときxと間違えやすいので⋇の方を使っています。
かえって分かりづらかったですね。
すいません。

お礼

お返事が遅くなりまして申し訳ございません・・・。

掛け算ですね！！
理解が出来ました！！。

ありがとうございます。
一つ一つ頭の中で理解しながら、できました！！

ありがとうございます。

回答No.5

oz_marion

No.2さんと回答は同じなのですが、なぜ中点Gをわざわざ定義したのかなと。
ワタクシも35/2が回答(17.5倍)です。

証明は省きます。
△AEF∽△CDFにより、
AE：CD＝2：(2+3)＝2:5

相似の図形の面積比は・・・辺の比の2乗でしたよね。
∴△AEF：△CDF＝4:25

ここで△AEFの面積をaと置くと、△CDFは25/4a(25/4×a)になります。

次に注目は△AEDです。
思い出すべきことは、三角形の底辺をある割合で分ける点と頂角を結んだ時、
三角形の底辺比＝面積比となることです。
この場合、△AEDの底辺AEを2:5で分けている点をF、頂角AとFを結んで2分して
います。従って、面積比は2:5になり、△AEFの面積をaとすれば△AFD＝5/2aです。
※相似の図形の場合、底辺比に加え高さ比も考える必要があるので、それぞれ2乗になりますが、
この場合は、高さは共通なので、純粋に底辺比のみが面積比になります。覚えておくといいです。

これで、平行四辺形の半分の面積となる△ACDの面積が△AFD＋△CDFで、aを使って
求められます。
(25/4)a＋(5/2)a＝(35/4)a
平行四辺形はこの倍ですから、35/4a×2＝35/2aとなり、△AEF＝aの35/2倍となる
わけです。

でも、Gが気になるんですけどね・・・

お礼

お礼が遅くなりまして申し訳ございません・・・。
ありがとうございます。

同じような問題を探して頑張ってみます！！

本当にありがとうございました。

回答No.4

ferien

＞平行四辺形ＡＢＣＤがあり辺ＡＢを2：3に分ける点Ｅ、線分ＤＥと対角線ＡＣの交点をＦ
＞ 対角線ＡＣの中点をＧとします。

＞平行四辺形ＡＢＣＤの面積は△ＡＥＦの面積の何倍ですか？　
AB＝CD，AE：EB＝2：3　より、AE：DC＝2：5　……(1)

△AEFと△CDFとで、
AE//DC（AB//DC）より、２組の錯角が等しいから、
２つの角が等しいことより、
△AEF∽△CDF
よって、(1)より、AF：CF＝AE：CD＝2：5　……(2)
(2)より、相似比＝2：5　だから、面積比＝2^2：5^2＝4：25
よって、△AEF：△CDF＝4：25　より、
△AEF＝(4/25)△CDF　……(3)

平行四辺形ABCD＝ABCD　とします。
図から、△ACD＝(1/2)ABCD　……(4)

△ACDと△CDFで、Dを頂点とみると高さが同じだから、
面積比＝底辺の比　だから、(2)より、
△ACD：△CDF＝AC：FC＝7：5　で、(4)より、
△CDF＝(5/7)△ACD
＝(5/7)・(1/2)ABCD
＝(5/14)ABCD　……(5)

(3)(5)より、
△AEF＝(4/25)△CDF
＝(4/25)・(5/14)ABCD
＝(2/35)ABCD　だから、ABCD＝(35/2)△AEF

よって、平行四辺形ＡＢＣＤの面積は△ＡＥＦの面積の35/2（17.5）倍

図で確認してみてください。

お礼

お礼が遅くなりました・・・。
申し訳ございません・・・。

ありがとうございます。
一緒にやっていただくと出来るのですが、まだ一人で出来そうにありません。
でもとても分かりやすかったです。

回答No.2

j-mini27

AE：EB＝２：３なので
AE：AB＝２：５
AB＝DC（平行四辺形の対辺）なので
AE：DC＝２：５

△AEFと△CDFは
　∠AFE＝∠CFD……(１)（対頂角）
　　AE∦CDより錯角が等しいので
　∠AEF＝∠CDF……(２)
(１)(２)より２つの角がそれぞれ等しいので△AEF∽△CDF
　その相似比はAE：CD＝２：５
　高さの比も２：５なので
△AEFの高さはBCの２/７

△AEFは底辺がABの２/５
　　　　高さがBCの２/７
　なので、その面積は
　平行四辺形ABCD⋇２/５⋇２/７⋇１/２
　=平行四辺形ABCD⋇４/70

　逆に言えば、△AEFの35/2倍が平行四辺形ABCDの面積となります。

補足

ご回答ありがとうございます。

ご回答の中で　平行四辺形ABCD⋇２/５⋇２/７⋇１/２
　　　　　　　=平行四辺形ABCD⋇４/70
とありますが、*このマークは何と読むのでしょうか・・・？

申し訳ないです・・・。

回答No.1

nekonynan

ADの辺のEに平行になるように描く左側の場所をFとする

　AEFDの平行四辺形の半分が△ＡＥＦの面積となる

　したがって、平行四辺形ＡＢＣＤ面積を５とすれば

　AEFDの平行四辺形の面積はＡＢを2：3なので２となります

　平行四辺形の面積＝底辺×高さ

　底辺は同じなので高さだけが変わる　

　計算しやすように高さを５すれば、BE点の高さが５×3/５＝３　３なのでAEの高さは５－３＝２

　したがって△ＡＥＦの面積は１なので

　５÷１＝５

　５倍となります

お礼

ご回答ありがとうございます。
もう一度ゆっくりやってみます・・・。

ありがとうございます。