相似を使った平行四辺形の面積

質問

相似を使った平行四辺形の面積についての質問です。

「平行四辺形ABCDの辺AD上に三等分点E、Fをとり、BとEを結ぶ。対角線ACと線分BEとの交点をP、対角線ACと対角線BDとの交点をOとする。平行四辺形ABCDの面積が４８のとき、三角形BOPの面積はいくらか。」

△ABD：△ABE＝３：１、△APE：△PBC＝１：３までは、相似比で求められたのですが
そこから先がよくわからなくなってしまいました。
よろしくお願いします。

回答No.2

kagakusuki · ベストアンサー

ANo.1です。
　申し訳御座いません、間違えました。
　正しくは以下の通りです。

　点Oは対角線BDや対角線ACの中点なのですから

RS:OQ=2:1
2OQ=RS=h
OQ=h/2

　△APEと△BPCは合同であり、且つAE:BC=1:3なのですから

PR:PS=3:1
RS:PR=(3+1):3=4:3
4PR=3RS=3h
PR=3h/4

平行四辺形ABCDの面積=BC×h
△BCOの面積=BC×h/2÷2=BC×h/4
△BCPの面積=BC×3h/4÷2=BC×3h/8

なのですから

△BOPの面積=△BCPの面積-△BCOの面積
=BC×3h/8-BC×h/4
=BC×h/8
=(BC×h)/8
=平行四辺形ABCDの面積/8
=48/8
=6

お礼

ありがとうございます。三角形の高さで相似比を考えていくというのは
理解しているのですが、補助線ひいて考えないとやはりよくわからなくなりますね。

丁寧な解説わかりやすかったです。

回答No.3

yyssaa

△・・・で△・・・の面積を表すものとします。
質問者さんは△APE：△PBC＝１：３とされていますが、面積比
は辺の長さの二乗比になるので、△APE/△PBC=1/9・・・(1)です。
△ABE/ABD=1/3から△ABE=48*(1/2)*(1/3)=8・・・(2)
(1)、(2)から△ABE-△APE+△PBC=8-△APE+9*△APE=8+8*△APE
=△ABC=24、よって△APE=(24-8)/8=2
求める△BOP=△ABO-△ABP=△ABO-(△ABE-△APE)
=(1/4)*48-(8-2)=12-6=6・・・答え
になります。

お礼

面積比は相似比の二乗まではわかっていました・・・。
すっきりしていてとてもわかりやすいです。
ありがとうございました。

回答No.1

kagakusuki

今仮に、点Oから辺BCに向かって垂線を引き、その垂線と辺BCとの交点を点Qとし、同様に点Pから辺BCに向かって引いた垂線と辺BCとの交点を点Rとし、点Pから辺ADに向かって引いた垂線と辺ADとの交点を点Sとします。
　また、線分RSの長さをhと置きます。

　点Oは対角線BDや対角線ACの中点なのですから

RS:OQ=2:1
2OQ=RS=h
OQ=h/2

　△APEと△BPCは合同であり、且つAE:BC=1:3なのですから

PR:PS=3:1
RS:PR=(3+1):3=4:3
4PR=3RS=3h
PR=3h/4

平行四辺形ABCDの面積=BC×h
△BCOの面積=BC×h/2
△BCPの面積=BC×3h/4

なのですから

△BOPの面積=△BCPの面積-△BCOの面積
=BC×3h/4-BC×h/2
=BC×h/4
=(BC×h)/4
=平行四辺形ABCDの面積/4
=48/4
=12