対数不等式の範囲について
- 対数不等式の範囲についての質問です。解答として、真数の条件式が異なる2つの範囲が示されていますが、どちらが正しいのか確認したいとのことです。
- 問題では log2 x(x-2) < log2 8 の不等式が与えられており、解答として2つの範囲が示されていますが、正しい範囲はどちらなのか疑問です。
- 解答では、真数の範囲が x<0 , x>2 であるとするものと x>0 かつ x>2 であるものの2つの範囲が示されていますが、どちらが正しいのか不明です。
- ベストアンサー
対数不等式の範囲について
log2 x(x-2) < log2 8 についてのxの範囲ですが、どちらが正しいでしょうか? (1) 真数の範囲はx(x-2)>0よって x<0 , x>2 また方程式の底は1より大きいので x(x-2)<8 -2<x<4 範囲を合成すると、 -2<x<0 , 2<x<4 (2)左辺は log2 x + log2 (x-2) に変形できるので x>0かつx>2 …x>2 また方程式の底は1より大きいので x(x-2)<8 -2<x<4 範囲を合成すると 2<x<4 (1)の条件でも不等式は成立しますが、真数の条件式はどちらがただしいのでしょうか? (1)が間違いであれば理由もほしいです
- sutema
- お礼率56% (9/16)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数1
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
(1)が正しいです。 以下、底を省略して書きます。 logAB=logA+logBという式を使われたのだと思います。・・・※ この式変形(左辺から右辺)が可能なのは、logAとlogBが真数条件A>0かつB>0を満たしていることが条件となります。 ですので、問題の設定ではlogx(x-2)=logx+log(x-2)と変形した時点で、真数条件がx>0かつx-2>0と厳しくなってしまいます。 ここではlogx(x-2)の真数条件を考えればいいだけですので、x(x-2)>0よりx<0,2<xとするだけでよく、※を使って変形したそれぞれの対数の真数条件x>0かつx-2>0ではこの問題に関しては条件が厳しすぎるということです。 具体的に(1)の結果から出たx=-1を考えると、 logx(x-2)=log(-1)(-3)=log3で真数条件を当然満たしています。 一方、(2)のように変形してしまうと、 logx(x-2)=logx+log(x+2)=log(-1)+log(-1+2)となり真数条件を満たしません。 これは式を左辺から右辺に変形するさいにx>0,x-2>0という条件が前提にあるからです。 ※式をつかって変形する際にはA>0、B>0という真数条件が前提となります。この問題の場合その前提はありませんから、(1)で計算するのが正しいということです。
その他の回答 (3)
- MarcoRossiItaly
- ベストアンサー率40% (454/1128)
皆さんのご回答を読んでもうお分かりと思いますが、要するに、「log2 x + log2 (x-2)」と分解してしまった時点で、既に失敗。「log2 |x| + log2 |x-2|」と書けば、まあ分けられるわけですが、正だの負だの、場合分けが多くてうっとうしいので、(1)のように単純に2次関数で考えたほうがラクそうですね。
- birth11
- ベストアンサー率37% (82/221)
(1) の回答の流れは正しい。 答えも正しい。 (2) のパラドックスは log2 ( x ( x - 2 )) を分解するとき x ( x - 2 ) > 0 が x = - 1 ( < 0 ) のときも成り立つにもかかわらず、 log x を 使ってしまったところににある。 以上。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
(1) が正しい.
関連するQ&A
- 対数の不等式教えてください。
logの後の半角数字は底だと思ってください。 (log2X)~2-log2X~3+2=0 という式があるんですが、真数条件はX=0になりますか? 指数が付いているといまいち分かりません。 そして、その後に求めることが出来ません。 最初は()を取り払って計算を進めていったんですが、 Xの処理が分かりません。 教えてください。答えはX=2、4になるそうです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 対数不等式の解き方考え方
お世話になってます。対数方程式は比較的簡単に解けるのですが、不等式にてこずります。基本的な問題なのですが、 問 不等式 log[3](x+2)<2 を解け。(底は3です) 一応やってみました。間違ってたら御指摘下さい。 2=log[3]9であるから、 log[3](x+2)<log[3]9。 底>0 より、log[3](x+2)<log[3]9 ならば、x+2<9。よってx<7。 また、真数>0より、x+2>0、よってx>-2。 以上より、 -2<x<7 。 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 真数条件の考え方
高校数学IIからの質問です。 『方程式log3 (X+2)+log3 (X-1)=log3 4を解け』という問題で、真数条件を確認するとき、左辺をまとめてlog3 (X+2)(X-1)としてから(X+2)(X-1)>0としてはならず、log3 (X+2)、log3 (X-1)のそれぞれで確認しなければならない、とありました。 以上を踏まえて、『方程式log10 (X+2)(X+5)=1を解け』という問題をやりました。左辺を分解してlog10 (X+2)+log10 (X+5)とし、X+2>0、X+5>0として真数条件を求めたのですが、これは誤りであると書かれてありました。なぜ間違いなのでしょうか? 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 対数関数で困っています
なかなか最後の問題でてこずっています。 aは定数とする。方程式log_3(x-1)^2+log_3(x+2)=aについて (1)xの取りうる範囲を求めよ。 (2)a=log_9(16)のとき、方程式の解を求めよ。 (3)この方程式が異なる2つの正の解と1つの負の解を持つようにaの 値の範囲を求めよ なんですけど、(1)は真数条件で。(2)は3^2 と4^2 として計算するとまぁできました。しかし(3)がいろいろ考えすぎてこんがらがっています。 もしよろしければ、お返事を宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数