真数条件の考え方

質問

高校数学IIからの質問です。
『方程式log3 (X＋２)＋log3 (X－１)＝log3 ４を解け』という問題で、真数条件を確認するとき、左辺をまとめてlog3 (X＋２)(X－１)としてから(X＋２)(X－１)＞０としてはならず、log3 (X＋２)、log3 (X－１)のそれぞれで確認しなければならない、とありました。
以上を踏まえて、『方程式log10 (X＋２)(X＋５)＝１を解け』という問題をやりました。左辺を分解してlog10 (X＋２)＋log10 (X＋５)とし、X＋２＞０、X＋５＞０として真数条件を求めたのですが、これは誤りであると書かれてありました。なぜ間違いなのでしょうか？
宜しくお願いします。

回答No.2

PRFRD · ベストアンサー

問題は真数条件ではなく，log に対する操作です．

　log(ab) = log(a) + log(b)
という式変形を使ったようですが，この変形ができるための条件は
　log(a), log(b) が真数条件を満たす
ことです．

つまり，log(X+2)(X+5) の真数条件をチェックするために
　log(X+2)(X+5) = log(X+2) + log(X+5)
と変形してしまうと，その時点で log(X+2), log(X+5) に真数条件を
課していることになるので，答えが合わなくなります．

実際，log(X+2)(X+5) が実数となるためには (X+2)(X+5) > 0 でよく，
式変形できるための条件 X+2 > 0, X+5 > 0 は強すぎます．
（X = -6 などで確認してみてください）

お礼

回答ありがとうございます。
わかり易い解説ありがとうございます。大変参考になりました。

回答No.1

staratras

ご質問の前半は、真数条件を考えるときは与えられた対数の式そのままで（対数の和を真数の積に変形したりせずに）、各項について真数＞０を考えなさいということです。「以上を踏まえて」解くのですから、ご質問の後半の方程式の場合、真数条件は逆にそのまま（Ｘ＋２）（Ｘ＋５）＞０で考えなければなりません。この方程式の場合、ご質問のように真数条件を変えてしまうと、Ｘ＝－７（このとき上記の真数は－５×（－２）＝１０で正の数です）という一方の解が排除されてしまいます。つまり、方程式log10 (X＋２)(X＋５)＝１と方程式log10 (X＋２)＋log10 (X＋５)＝１とでは真数条件の考え方が違うということです。

お礼

回答ありがとうございます。
たしかにその通りでした。大変参考になりました。ありがとうございます。