因数定理について

質問

友人と因数定理について話していたところ、因数定理を用いることができる関数について議論になりました。どうやら、三角関数やｘが分母にくるような関数ではダメだということはわかりましたが、具体的にどういえばいいのか良くわかりません。専門家の方、なるべく解りやすくそして詳しく教えてください。よろしくお願いします。

回答No.8

me_heng

的外れな回答かも知れませんが、そもそも「因数」ってなんでしょうか？
この単語は「因数分解」や「素因数分解」のそれと同じ物です。
因数とは「決められた集合内で、それ以上（単数以外との）積で分解できないもの」のことです。
単数とは1の約数、または集合内で逆数を持つ数のことですがここでは詳しくは割愛します。
ですから、それ以上分解できない数があるところでしか意味をなさないのです。
例えば、

1/2を素因数分解しなさい

という問題は出てこないわけです。
なぜならば、

1/2=(1/3)*(3/2)=(1/5)*(5/2)=…

と無限に分けられます。
もっとも、これらは全部単数の積です。
なぜなら逆数を持ちますから。
つまり「0以外のどんな数も逆数を持つような集合では因数分解はあまり意味がない」のです。

話を質問に戻しましょう。
分母に文字や関数を持ってきた時点で、集合内に逆数を持つ多項式が一気に増えるので上と同じような作用が起こり、先の回答者様方の仰られる通り無限回因数分解が出来てしまいます。
と言うのは、単数の積に分けられるのですからそれらはもう一度単数の積に分けられるのです。

これは「環(ring)」と「体(field)」と呼ばれる概念で、その境目を議論されていたと思われます。
環の代表的な物は、整数（環）や多項式（環）です。
因数定理が成り立つのは一般には多項式環で、分母に文字が来ると有理関数体になってしまいます。
環ならば因数定理は成り立つのですが、高校でやった場合を越えると場合によっては因数分解の形が一通りとは限らないこともあります。
そこまで考慮してのご質問で有ればまた別の「境目の議論」が必要かも知れません。