因数定理について

質問

友人と因数定理について話していたところ、因数定理を用いることができる関数について議論になりました。どうやら、三角関数やｘが分母にくるような関数ではダメだということはわかりましたが、具体的にどういえばいいのか良くわかりません。専門家の方、なるべく解りやすくそして詳しく教えてください。よろしくお願いします。

回答No.7

siegmund

siegmund です．

shushou さん：
> すると私の回答の
>> h(x)は定数と分かり
> の部分は大嘘ですね。

まあ，sin x の場合にこのように h(x) を書くなら定数ですから
大嘘ではないですよ．
一般の場合は h(x) が定数でなくて零点を持たない関数になりますがね．

今まで無限乗積展開が因数定理の一般化という見方をしたことがなかったので，
私も勉強になりました．
関数論の本で無限乗積のところを見ると，
Weierstrass の拡張された意味の素因子，Weierstrass の因数分解定理，
などという言葉が出てきますから，
無限乗積表示はは因数分解の拡張という思想なのでしょうね．
今度物理数学の授業持ったときのネタが一つできました．

ところで，最初の質問の
> ｘが分母にくるような関数ではダメだということはわかりましたが
ですが，有理型関数 f(z) に対して(複素関数を想定しているのでｚで書いています)，
f(z)の零点だけを零点とする整関数φ(z)と，f(z)の極だけを零点とする整関数χ(z)
を選んで
(1)　　f(z) = φ(z)/χ(z)
という形の表示が成り立つようにできる，という定理があります．
有理型とは極以外では正則な関数のこと，整関数とは |z|<∞ で正則な関数のこと．
整関数は 1/Γ(z) の場合に似た無限乗積展開ができますので，
結局(1)の意味するとことは，零点はφ(z)の無限乗積展開の因子で表現され，
極はχ(z)の無限乗積展開の因子で表現される，ということです．
ただし，やっぱり余計な(？)ものはつきます．
これは，有理型関数に対する因数分解の拡張と言えそうです．
例えば，tan z は ｎを整数として，z = nπ が零点，z = (n-1/2)π が極です．
tan z の無限乗積展開は
(2)　　tan z = sin z / cos z
(3)　　sin z = z Π (1 - z^2 / n^2 π^2)
(4)　　cos z = Π {1 - 4z^2 / (2n-1)^2 π^2)}
で(無限乗積は n=1～∞)，零点と極が因子で表現されています．
tan z の場合は余計な(？)ものがつきませんが，これは例外的です．