因数定理について

質問

友人と因数定理について話していたところ、因数定理を用いることができる関数について議論になりました。どうやら、三角関数やｘが分母にくるような関数ではダメだということはわかりましたが、具体的にどういえばいいのか良くわかりません。専門家の方、なるべく解りやすくそして詳しく教えてください。よろしくお願いします。

回答No.5

siegmund

siegmund です．

関数の無限乗積展開が因数定理の一般化と見なせる，
という shushou さんの話が面白かったので，もう少しコメントします．
私は今まで無限乗積展開が因数定理の一般化という見方は考えたことが
ありませんでした．

多項式
(1)　　f(x) = a0 x^n + a1 x^(n-1) + ・・・ + an
x-αで割り切れるための必要十分条件が
(2)　　f(α) = 0
というのが元々の因数定理です．
割り切れるのだから
(3)　　f(x) = (x-α) g(x)
となって，g(x) は f(x) より１次だけ次数が下がった多項式になります．
代数学の基本定理により，ｎ次の代数方程式は複素数の範囲でｎ個の根
(２重根は２個の根，３重根は３個の根,...，とみなす)
を持ちますので，それらをα1,α2,...,と書くことにすると，
次々同じことができて，結局
(4)　　f(x) = a0 (x-α1)(x-α2)・・・(x-αn)
と因数分解できます．
(4)の特徴は，f(x) が零点を与える１次式 x-α の因子の積だけで書けている
(定数は別にして)ということです．

さて，shushou さんの例の sin x は零点が x = 0, ±nπ (n=1,2,3,....)で，
無限乗積展開が
(5)　　sin x = x Π{1-x^2/(n^2 π＾2)}
になっていますので，上に述べた(4)の特徴を持っています．

sin x を見ると，無限乗積展開が因数定理の素直な拡張になっているように
見えるのですが，sin x はむしろ例外です．
例えば，
(6)　　F(x) = x e^x - e^x = (x-1) e^x
ですと，零点は x=1 だけで，他にはありません．
(6)は零点を与える因子以外に e^x という余計なもの(？)がついてしまいます．

零点が無限個ある場合して，ガンマ関数Γ(x) の逆数関数 1/Γ(x)を例示しましょう．
1/Γ(x) は x=0,-1,-2,・・・に１位の零点を持ち，
他には複素平面上で零点はありません．
1/Γ(x) の無限乗積展開は Weierstrass の標準積表示として知られていて
(7)　　1/Γ(x) = x exp(γx) Π(n=1～∞) {(1+x/n) exp(-x/n)}
です．γは Euler の定数で γ = 0.5772...．
(1-x/n) の因子だけだといいのですが，やはり余計な(？)ものがついています．

一般にはこの種の余計な(？)ものがつくのが普通で，
sin x の場合はΠの前の因子がたまたま定数，
exp(-x/n) に相当する因子がｎの正負でキャンセルし，
正負まとめて{1-x^2/(n^2 π＾2)}となったのです．