数A集合と論理の問題について

質問

【問題】
実数ｘについての条件
ｐ（ｘ）：ｘ＞a－２
ｑ（ｘ）：ｘ＾２＞a
がある。
ｐ（ｘ）がｑ（ｘ）の十分条件となるような実数の定数aの値の範囲を求めよ。

【解答】
ｘ＾２＞aを満たすｘの値の範囲は
★｛a＜０のときは実数全体
　｛a≧０のときはｘ＜－√aまたはｘ＞√a ★

ｐ（ｘ）がｑ（ｘ）の十分条件となるのは、”ｐ（ｘ）⇒ｑ（ｘ）”が成り立つ時なので、ｐ（ｘ）、ｑ（ｘ）の心理集合をP,Qとすると、P⊂Qとなるときである。

（i）a＜０のとき
　　　　P＝｛ｘ｜ｘ＞a－２｝
　　　　Q＝｛実数全体｝
　　であるから、任意の実数aに対してP⊂Qが成り立つ。
（ii）a≧０のとき
　　　　P＝｛ｘ｜ｘ＞a－２｝
　　　　Q＝｛ｘ｜ｘ＜－√aまたは√a＜ｘ｝
　　であるから、P⊂Qが成り立つのは√a≦a－２
　　すなわちa－√a－２≧０
　☆よって（√a＋１）（√a－２）≧０が成り立つ時である。
　　常に√a＋１＞０であるから、これは√a≧２すなわちa≧４のときである。☆
以上から、求めるaの値の範囲はa＜０または４≦a

まず、★の部分なんですが、これは場合分けをa≦０とa＞０と等号のつけ方を逆にしてもいいのでしょうか？

そして、☆の部分なんですが、これは√a≦a－２のあと
両辺２乗してa≦a^2-4a+4
a^2-5a+4≧0
　　　　　　　(a-1)(a-4)≧0
と計算していってしまったらだめなのでしょうか？
もしこれでも可能なら、答えの形から、計算してa≦１、４≦aとなったあとに吟味が必要になると思うんですが、その吟味の仕方も教えてくださると嬉しいです。

よろしくおねがいします(> <)

回答No.1

tarame · ベストアンサー

★　だめです
a＜0 のところを　a≦0 とすると
a＝0 のとき　x^2＞0 の解は実数全体とはならなくなります。

☆　計算してよいのですが、注意することがあります
ｘ≧y を　x^2≧y^2 としてよいのは　x≧0 かつ y≧0 のときだけです。
ですから　√a≧0 かつ a-2≧0 という条件のもとでしか式変形できません。
√a≧0 は成り立ちますので、a≧2 という条件がつくことになります。

お礼

なるほど！
そういえば０も実数ですもんね；

そういえば不等式の２乗には気をつけなくてはいけませんでしたね；

…なんだか色々基礎事項が抜けてました（＾＾；）

わかりやすく、しかも不足のない説明で嬉しいです（> <)
一気に全部解決しました！ありがとうごさいました☆