• ベストアンサー

論理と集合の問題です。

xの2乗-(a+1)x+a>0がx>1の必要条件となるように、aの値の範囲を求めよ。という問題です。 x>1⇒xの2乗-(a+1)x+a>0が成り立てばいいのかなと思いましたが、よく分かりません。 解いてください、また解説をお願いします。

  • pal56
  • お礼率0% (0/11)

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.1

> x^2-(a+1)x+a>0 (x-1)(x-a)>0 この解は (1)a=1の場合は x≠1 (2)a<1の場合は x<a,x>1 (3)a>1の場合は x<1,x>a となります。 これらの場合の中で「x>1」の範囲をそっくり含んでいるaの条件が求める必要条件です。 (1)と(2)はOK,(3)は駄目ですね。 なので、必要条件は a≦1ですね。

関連するQ&A

  • 数Iの集合と論理の問題でわからないところがあります

    正の定数aに対して、実数xが ・0≦x≦aの範囲にあることをpとおき。 ・0≦x≦5の範囲にあることをqとおく。 この時 (i)pがqであるための十分条件となるようなaの値の範囲 (ii)pがqであるための必要条件となるようなaの値の範囲 (iii)pがqであるための必要十分条件となるようなaの値 を求める問題なのですが 答えが iは0<a≦5 iiは5≦a iiiはa=5 となっています それで iは0≦a≦5じゃなくて0<a≦5となる理由は 最初の説明で0≦x≦aと置いてあるからと考えていいのでしょうか? それとiの答えを、0から5とするとiは十分条件じゃなくて必要十分条件になってしまってiiiと同じになりませんか?

  • 数A集合と論理の問題について

    【問題】 実数xについての条件 p(x):x>a-2 q(x):x^2>a がある。 p(x)がq(x)の十分条件となるような実数の定数aの値の範囲を求めよ。 【解答】 x^2>aを満たすxの値の範囲は ★{a<0のときは実数全体  {a≧0のときはx<-√aまたはx>√a ★ p(x)がq(x)の十分条件となるのは、”p(x)⇒q(x)”が成り立つ時なので、p(x)、q(x)の心理集合をP,Qとすると、P⊂Qとなるときである。 (i)a<0のとき     P={x|x>a-2}     Q={実数全体}   であるから、任意の実数aに対してP⊂Qが成り立つ。 (ii)a≧0のとき     P={x|x>a-2}     Q={x|x<-√aまたは√a<x}   であるから、P⊂Qが成り立つのは√a≦a-2   すなわちa-√a-2≧0  ☆よって(√a+1)(√a-2)≧0が成り立つ時である。   常に√a+1>0であるから、これは√a≧2すなわちa≧4のときである。☆ 以上から、求めるaの値の範囲はa<0または4≦a まず、★の部分なんですが、これは場合分けをa≦0とa>0と等号のつけ方を逆にしてもいいのでしょうか? そして、☆の部分なんですが、これは√a≦a-2のあと 両辺2乗してa≦a^2-4a+4 a^2-5a+4≧0        (a-1)(a-4)≧0 と計算していってしまったらだめなのでしょうか? もしこれでも可能なら、答えの形から、計算してa≦1、4≦aとなったあとに吟味が必要になると思うんですが、その吟味の仕方も教えてくださると嬉しいです。 よろしくおねがいします(> <)

  • 集合と論理について教えて下さい。

    集合と論理で困っています。 問題: 不等式 x^2-6x+a≦0 を満たすすべてのxが、不等式x<4を満たすのは、定数aがどんな範囲の値であるときか。 答え: a>8 答えは対偶"x≧4 ⇒ x^2-6x+a>0"をとって導きだすことができました。しかしその後の解説でとまどっています。 解説: 「不等式 x^2-6x+a≦0が成り立つとき不等式x<1がつねに成り立つ」という問題なら答えはa>9となります。 なお、a>9のとき x^2-6x+a≦0が成り立つことはありません。しかし、'x^2-6x+a≦0 ⇒ x<4'は成り立ちます。 私の疑問: なぜa>9のとき x^2-6x+a≦0が成り立つことはないのに、'x^2-6x+a≦0 ⇒ x<4'は成り立つのですか? x^2-6x+a≦0が成り立っていないのになぜ ’ならばx<4' と限定されるのでしょうか。どうせ成り立っていないならxはx≧4の実数でも当てはめることができると思い、'⇒ x<4 'はおかしいと思ってしまいます。 いろいろ勘違いしているのだと思いますが、 よろしくお願いします(><)

  • 集合と命題

    a>0とする。-2<x<1 が |x|<a の十分条件であるようなaの値の範囲を求めよ。 また、-2<x<1が|x|<a の必要条件であるようなaの値の範囲を求めよ。 この形式の問題は初めて 見るので何をしたら答えが導き出せるか分からず 困っています(;-;) 考え方を教えてください!よろしくお願いいたします。

  • 集合論の問題

    次の条件が成り立つための定数a,b,cの必要十分条件を求めよ。 すべての整数xについてax^2+bx+cの値が偶数になる。 教えてほしいところ 解説ではx=-1,1,0からa+b=2(m+l),a-b=2(n-l),c=2lとしてこれを逆に代入して同値性を確保して必要十分条件と出していました。 しかし、それは、あくまでx=-1,1,0から出した条件であって果たしてそれ以外のxの値に対して同様になるとは限りませんよね。 つまりa+b=2(m+l),a-b=2(n-l),c=2l→すべての整数xについてax^2+bx+cの値が偶数になるはなり立ちますが すべての整数xについてax^2+bx+cの値が偶数になる→a+b=2(m+l),a-b=2(n-l),c=2lが成り立つかx=1,-1,0だけではあやしい気がします。それならすべてでなく、x=1,-1,0についてax^2+bx+cの値が偶数になるという問題に対しての必要十分条件だとしか思えません。 集合論は難しくて複雑です。誰か、解説してください。

  • 集合と論理

    nを自然数とし、xを実数とする。 命題「-n≦x≦2nならばxの二乗-6x-16≦0」を考える。 この命題が真となる自然数nは、全部で??個存在する。 また、この命題の逆が真になるためのnの条件は、n≧??である。 申し訳ないですが、分かりやすい解説をお願いします。

  • (急) 2次不等式の問題 2題

    以下の問題の解答・解説を教えてください。 1、2次不等式x2乗-(k+3)x+3k<0を満たす整数xが存在しないように、定数kの値の範囲を定めよ。 2、次の2つの2次不等式を考える。   x2乗-2x<0…(1) 、 2x2乗-(2a-1)x-a<0…(2)   (1)を満たすすべてのxが、(2)を満たすように、定数aの値の範囲を定めよ。

  • (急) 2次不等式の問題

    以下の問題の解答・解説を教えてください。 2x2乗+ax≦0 (-3≦x≦-1) ( )内の範囲において、常に成り立つように定数aの値の範囲を定めよ。 宜しくお願い致します。

  • 「集合と論理」で分らないのがあるので教えてください

    □に入る言葉を(1)から(4)より選んでください。 (1)ab+1=a+bであることは、a、bのうち少なくとも1つが1であるための□。 (2)xy<1であることは、y<(1/x)であるための□。 (3)|a|<1、|b|<1であることは、ab+1>a+bであるための□。 (1)必要条件であるが、十分条件でない。 (2)十分条件であるが、必要条件でない。 (3)必要条件でも十分条件でもない。 (4)必要十分条件である。 答えは、 (1)(4) (2)(3) (3)(2) なのですが、どうしてこのような答えになるのか分りませんので教えてください。 よろしくお願いします。

  • 不等式の問題です。教えてください!

    不等式3<x+1<6・・・(1)と二次方程式xの二乗+ax+b-9=0・・・(2)(a,bは定数) があり、(2)はx=3を解にもつ。 (1)(2)の解がすべて(1)をみたすようなaの値の範囲を求めよ。 (2)(1)を満たすすべてのxが不等式a(x-a)<b(x-1)を満たすようなaの値の   範囲を求めよ。ただし、aは0ではないとする。 考え方がよく分かりません。 詳しい解説をよろしくお願いします!