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微分？の問題を教えてください
ｒを正の実数とする。２つの実数ｘ=ｘ+ｙ、ｑ=ｘｙとおく。この時、 (１)ｘ^2+ｙ^2=ｒ^2ー①とき、ｑをｐの式で表せ。また、ｐな取りうる値の範囲を求めよ。 (2)点(ｘ、ｙ)が円①の上を動くときの点(ｐ、ｑ)の軌跡をＣrとする。Ｃrの概形を描け。 (3)ｒが１≦ｒ≦２の範囲で変化するとき、Ｃｒが通る座標平面上の範囲を求めよ。 (1)のｑは表せたのですがｐの取りうる値の範囲から何をしていいのかわかりません。 (2)(3)はなんとなく放物線になるかなという予測はつくのですが、どう計算したらいいのか、わかりません(*_*) よろしくお願いします。
- sakurhythm
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P=x+yなら y=-x+pで、Pは直線のy切片だからその範囲はこの直線と円x^2+y^2=r^2 が接するときに最大または最小となることで求められます。 点(r/√2,r/√2)で接するとき切片は最大(√2)r 点(-r/√2,-r/√2)で接するとき切片は最小－(√2)r (1)からq=p^2/2-r^2/2、よって、頂点(0,-r^2/2)の放物線で 定義域－(√2)r≦p≦(√2)rで描けばいいです。 １≦ｒ≦２なので、１≦ｒ^2≦４． (1)からｒ^2＝p^2-2qをここに入れて、１≦p^2-2q≦４ つまり、q≦p^2/2-1/2とq≧p^2/2-2の重なる部分で、右端点は p=(√2)rからr=p/√2をq=p^2/2-r^2/2に代入してq=p^2/4上にあり、 左端点も同様にしてq=p^2/4上にあります。
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