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軌跡の問題について
軌跡の問題で困っているものがあります。 放物線y=x^2/4上の点Q、Rは、それぞれその点におけるこの放物線の接線が直交するように動くものとする。 この2本の接線の交点をP、線分QRの中点をMとしたとき、次の問いに答えよ。 (1)点pの軌跡の方程式 (2)点Mの軌跡の方程式 点QとRをそれぞれ(a,a^2/4)と(b,b^2/4)として接線をだして求めて行くようですが、良く分かりません。 答えは(1)y=-1 (2)y=x^2/2+1です。 解法が分かる方、解説お願いします。
- shibaken16
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>>> 実はa/2 × b/2 = -1までは考えていたのですが、 この値をどのように使っていいのかが分からない無いのです。 そういうことでしたら、最初から書いてほしかったです。 a/2 × b/2 = -1 なので、 b = -4/a Rを通る接線の方程式 y - b^2/4 = b/2・(x - b) に、 b = -4/a を代入すれば、bが消えます。 よって、 Qを通る接線の方程式との連立方程式を解けば、 2つの接線の交点の座標が求まります。 本件、私からの回答は、これで最後とさせてください。
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- mister_moonlight
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ab=-4 ‥‥(1) とここまで来たなら、後は簡単。 各々の接線の方程式は、y=(a/2)*(x-a)+a^2/4 ‥‥(2)、y=(b/2)*(x-b)+b^2/4 ‥‥(3). (2)と(3)を連立すると、P(α、β)も求まる。 結果はa≠bから、2α=a+b、4β=ab となる。4β=ab=-4 から 流通座標に変換して、y=-1 。 又、M(X、Y)とすると、2X=a+b、2Y=(a^2+b^2)/4。 従って、8Y=(a+b)^2-2ab=(2X)^2+8。 整理すると、2Y=X^2+2。同じく、流通座標に変換すると、2y=x^2+2 軌跡の方程式を求めよ、だからこれで良いが、“軌跡を求めよ”ならば、軌跡の限界を求めなければならない。(但し、結果的には不要だが)
- sanori
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こんばんは。 y’= x/2 x=a における接線の傾きは、y’(a)です。 よって、 Qを通る接線の方程式は、 y - a^2/4 = a/2・(x - a) Rを通る接線の方程式は、 y - b^2/4 = b/2・(x - b) となります。 これらは直交するので、傾き同士をかければ -1 です。 つまり、 a/2 × b/2 = -1 です。 たぶん、ここまで来れば、先に進めるのでは? がんばってください。 以上、ご参考になりましたら幸いです。
補足
ご回答ありがとうございます。 実はa/2 × b/2 = -1までは考えていたのですが、 この値をどのように使っていいのかが分からない無いのです。
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シニア数学演習 185 放物線y=x^2/4上の点Q,Rは、それぞれの点におけるこの放物線の 接線が直交するように動くものとする。 この2本の接線の交点をP、線分QRの中点をMとするとき、次の問いに答えよ。 (1)点Pの軌跡を表す方程式を求めよ。 (2)点Mの軌跡を表す方程式を求めよ。 解答 (1)y=-1 (2)y=x^2/2+1 解法を詳しく教えてください。 よろしくおねがいします。
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お礼
すいません。 ご回答ありがとうございました。