2次曲線が分かりません

質問

xy平面上の放物線C：ｙ＝ー１/２ｘ＾２（ー２分の１Xの２乗）を考える

（１）点P（a,b)がCの異なる２本の接線の交点となるための条件は
a^2＋２ｂ＞０ であることを示せ

（２）点P（０、ｂ）（ｂ＞０）を通るCの異なる２本の接線の接点をそれぞれQ,Rとし、
∠QPR＝θとおく（０＜θ＜π） このときcosθをｂを用いて表せ

（３）次の条件を満たす点Pの軌跡をｘｙ平面上に図示せよ
条件・点Pを通るCの異なる２本の接線が存在し、それぞれの接点をQ,Rとおくとき
∠QPR＝π/４である

回答No.2

mister_moonlight

ベクトルなんか持ち出す必要もない。

接線をy＝mx＋bとすると、放物線Ｃと連立すると、x＾2＋2mx＋b＝0から　Ｑ（α、mα＋b）、Ｒ（β、mβ＋b）となる。
α＋β＝-2m、αβ＝2b　‥‥(1)
三角形ＰＱＲに余弦定理を使うと、（ＱＲ）＾2＝（ＰＱ）＾2＋（ＰＲ）＾2-2*（ＰＱ）*（ＰＲ）*（cosθ）。‥‥(2)
ところが、（ＱＲ）＾2＝（1+m＾2）*（α-β）＾2、（ＰＱ）＾2＾＝（1+m＾2）*（α）＾2、（ＰＲ）＾2＝（1+m＾2）*（β）＾2　。
これらを(2)に代入して整理すると、｜αβ｜cosθ＝2αβとなる。
明らかに　αβ＜0より、(1)より　cosθ＝－４b。

（3）についても、余弦定理を使えばいいんだが、今度は他の解法で解いてみよう。

接線を　y＝m*（x-a）＋bとしい放物線と接するから連立すると、x＾2-2mx＋2b-2ma＝0　これが接するから判別式＝0　→　m＾2＋2am-2b＝0.
mは2つの接線の傾きだから、解と係数から、m1＋m2＝-2a、m1*m2＝－(2)b‥‥(1)
tangentの加法定理より（m1＝tanα、m2＝tanβだから）tan45°＝tan（α-β）＝｜（m1-m2）/（1+m1*m2）｜＝1.
｜（m1-m2）｜＝｜（1+m1*m2）｜より2乗すると、(2)を使って、4a＾2-4b＾2＋12b-1＝0.
但し、m1とm2は実数から、m＾2＋2am-2b＝0の判別式＞0　→　a^2＋2b＞0.

回答No.1

noname#108210

（１）
接点を(t,-(1/2)t^2)とおくと
接線の方程式は　y+(1/2)t^2=-t(x-t)
整理して　y=-tx+(1/2)t^2
点(a,b)を通るので，b=-at+(1/2)t^2
整理して，t^2-2at-2b=0‥‥（１）
これが異なる２つの実数解をもつことから求まります。

（２）
上の式（１）が解t,s をもつとして
２つのベクトル(1,-t),(1,-s)のなす角からcosθが求まります。
このとき，解と係数の関係，t+s=2a, ts=-2b を利用する。
求まった式で，a=0 の場合を計算すればよい。

（３）
（２）の場合から求めたcosθ=1/(√2)とおけば求まります。
因みに，双曲線　a^2=b^2-3b+1/4 の　a^2+2b>0 を満たす部分。
描画が大変かも。計算ミスしてるかもしれません。
自分で確認してください。