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記号論理学の問題について
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● (1) 命題関数 P(x) を、私は次のとおりに置いてみました。 P(x) = (x + 1 < x) これで、∃x(x + 1 < x) は ∃xP(x) と表記することができます。 そして、x + 1 < x という不等式を、私は解いてみました。この不等式の両辺から x を引きます。 1 < 0 不等式から x は消えました。そして「 1 は 0 より小さい 」という命題は 偽 であると私は判断しました。 以上の結果より、この P(x) という命題関数は定数関数であり、P(x) = 偽 であると、私は判断しました。 この ∃xP(x) を日本語で表現すれば、「 偽 ( と定まった命題 ) を真とするような x が存在する 」となります。そのような x は決して存在しません。ですから、私は ∃x(P(x)) は偽であると、私は判断しました。 もう 1つ の答えは、次のようになるのでしょうか … 。 ∃x(x + 1 < x) ≡ ∃x(¬(x + 1 ≧ x)) ≡ ¬(∀x(x + 1 ≧ x)) ● (2) 「 適当な x を選べば、任意の y に対して P(x, y) であるようにできる 」 「『 どの y に対しても P(x, y) である 』ということを満たす x が存在する 」 といった感じでしょうか … 。 もう 1つ の答えは、次のようになるのでしょうか … 。 ∃x∀yP(x, y) = ∃x(∀yP(x, y)) ≡ ∃x(∀y(¬¬P(x, y))) ≡ ∃x(¬(∃y(¬P(x, y)))) ≡ ¬(∀x(∃y(¬P(x, y)))) = ¬(∀x∃y(¬P(x, y))) ● 以上の私の記述がまちがっていましたら、ひらにごめんなさい。
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- Caper
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ごめんなさい。訂正です。ささいな訂正ですが、誤解を生むとつまらないと思いましたので。 (1) の終わりのほうです。 ( 誤 ) 私は ∃x(P(x)) は偽であると、私は判断しました。 ( 正 ) 私は ∃xP(x) は偽であると、私は判断しました。
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