論理学の問題と解法
- 論理学の問題について解説します。数学の用語で表される論理式が真偽を論じる場合、場合分けして考えることができます。
- 論理式「∀x∃x(P(x,y)∧￢(x=y))」は「ある数xはあらゆる数yで割り切れる。ただしxとyは同値でない」という意味です。
- 論理式「∀x∀y∃z(P(z,x)∧P(z,y))」の解法について教えてください。
- ベストアンサー
論理学の問題
議論領域は正の整数の集合として P(x,y)は「xはyで割り切れる」とします。 そして以下の論理式に対して 真偽を論じたいと思います。 （場合分けして考えてもよいです） ∀x∃x(P(x,y)∧￢(x=y))…(1) の数学の用語で表した場合と真偽を考えます。 (1)の論理式は「ある数xはあらゆる数yで割り切れる。ただしxとyは同値でない」と解釈して 数学の用語で表すと x=py（p∈Ｚ＋(正の整数)）でx≠yつまりp≠1となる p∈Ｚ＋（p≠1）よりx＞yでなけらばならない よってあらゆる数yで割り切れることができない よってこの論理式は偽となる これでよいでしょうか？ 数学が苦手なので教えてください。 また、 ∀x∀y∃z(P(z,x)∧P(z,y)) はどのようにとけばよいでしょうか？
- pop-bomb
- お礼率51% (567/1107)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数3
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
∀y(P(x,y)→((y=1)∨(y=x))) が真か偽かは x の値に依存します. で, x が 1 または素数であれば真, 合成数なら偽です. 以下余談: この式では x に ∀ も ∃ も付いていません. そのような変数を「自由変数」と呼びます (逆に ∀ や ∃ が付いている変数を「束縛変数」と呼びます). で, 自由変数は (∀ も ∃ も付いていないことから, あるいはその名前からわかるように) その値を自由に (勝手に) 決めることができ, 一般にはその値に依存して真であるか偽であるかが決まります. つまり, この式は「x の値を決めると真偽が定まる」式であり, 「命題関数」と呼ぶことがあります.
その他の回答 (2)
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
う～ん, よく見たら「そもそも ∀ とか ∃ の意味を理解できていない」ような感じもするなぁ.... ∀x は「すべての x に対して」, ∃x は「適切な x に対して」(あるは「以下を満たす x が存在する」) という意味. で ∀x∃y(P(x,y)∧￢(x=y))は「任意の x に対して適切に y を選べば P(x, y) かつ x ≠ y」, もうちょっと日本語らしくすると「任意の x に対し P(x, y) かつ x ≠ y であるような y が存在する」という意味.
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
偽になる命題は反例を示せば OK. 真である命題は証明しないとダメだけど. 前半: ∀x∃x ってどういうこと? ∀x∃y かな? ちなみにこれでも偽ですが. 後半: 「z は x と y の○○」の「○○」の部分が穴埋めできればほとんど終わり.
お礼
∀x∃y でした。すいません。
関連するQ&A
- 以下の2つの論理式が同値であることの証明
記号論理学についての初歩的な質問です。 以下の論理式(1)と(2)がなぜ同値になるのか、直感的にもわからず、証明もできず困っています： (1) ∃x(∀y(Py→y=x) & Px) (2) ∃x∀y(Py≡y=x) （≡は双条件の記号です。） (1)では、Pを満たす個体は唯一つある、というのは良く分かるのですが、(2)ではそれがうまくつかめません。 また(2)は、∃x∀y((Py→y=x) & (y=x→Py)) と分析できると思いますが、見た目では2つ目の連言肢が(1)のPxに相当すると感じるのですが。 お詳しい方、 お手数ですがひとつご教示いただければと思います。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 哲学・倫理・宗教学
- 記号論理学の問題について
以下の問題の回答が正解かどうか教えてください(__ 答えをなくしてしまいお願いいます。 (1)∃x(x+1＜x) 式が真か偽か答えよ。また限量子を変えて等値な論理式へ変形せよ。 (2)∃x∀yP(x,y) 式を日本語で読め。限量子を変えて等値な論理式へ変形せよ。 (1)は偽で、等値な論理式は￢∀x(￢(x+1＜x)) (2)は日本語で、すべてのyがPであるようなxが存在する。 等値な論理式は￢(∀x∃y(￢p(x,y))) 自分はこんな感じで解きました。 どうでしょうか？ お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 集合、論理問題
(1)2つの命題p,qの真偽と、p⇒qの真偽の関係を真偽表で表せ。 (2)条件『x>y⇒x^2>y^2』が成り立つような実数x,yの存在範囲を求めxy平面上に図示せよ。（(1)の真偽表に基づいて考察すること） (3)任意の実数 x に対して、条件『x>y⇒x^2>y^2』が成り立つ為の実数 y の条件を求めよ。((2)の図に基づいて考察すること) (4)対称領域をXとする2つの条件をP(x),q(x)とするとき、任意のxに対して条件『p(x)⇒q(x)』が成り立つことと『{x∈X|p(x)}⊆{x∈X|q(x)}』は同値である事を示せ。（(1)の真偽表に基づいて考察すること、また証明の際ベン図は用いないこと。） (5)任意の実数x,yに対して、条件『x^2+(y-1)^2≦z⇒y≧x』が成り立つ為の実数zの条件を求めよ。（(4)に基づいて考察すること） (1)の解答は p q p⇒q ------------ t t t f t t f f t t f f ※t=true f=false だと思うのですが・・・ (2)の解答は y=xの直線とx軸の間の範囲だと思うのですが・・・。 (3)の解答は yの条件とはどのように答えたら良いのかわかりません。 (4)、(5)ともに全くわからないのです。 集合や命題がとにかく苦手です。 どなたか教えて頂けないでしょうか？ よろしくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- 論理式について
変数の範囲を自然数とし，p(x,y)を「xはyの約数」とする．このとき，次の論理式のそれぞれについて，その意味と真偽の組み合わせで最も適切なものを選択肢から選びなさい． ∀x∃y p(x,y) ∀y∃x p(x,y) ∃x∀y p(x,y) ∃y∀x p(x,y) 【選択肢】 (1)任意の自然数を割り切る数がある． 真 (2)任意の自然数を割り切る数がある． 偽 (3)すべての自然数には少なくとも1つの倍数がある． 真 (4)すべての自然数には少なくとも1つの倍数がある． 偽 (5)任意の自然数には約数が存在する． 真 (6)任意の自然数には約数が存在する． 偽 (7)すべての自然数で割り切られる数がある． 真 (8)すべての自然数で割り切られる数がある． 偽 自分でやってみて、上から順に(8)(3)(5)(1)となったのですが、どうでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 記号論理の問題がわかりません
論理式∀ｘ∃ｙ（（ｘ⊂ｙ）⊃（ｘ＋１⊃ｙ＋１））の真か偽かをを求めよという問題で求め方がまったくわかりません。 ∀ｘ∃ｙの部分の意味はすべてのｘに対してあるｙが少なくとも１つ存在している。でいいのでしょうか？ それに（（ｘ⊂ｙ）⊃（ｘ＋１⊃ｙ＋１））でまったくわかりません。 もしご存知の方が居れば教えていただければ幸いです。 宜しくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 至急！数学の基本問題、助けてください！
数学のお得意な方ご協力お願いします！ 一問目〉 P,Q,Rは正の整数である。P×Q×R＝12 P-Q＝2 のとき、Rはいくらか？ 二問目》 4つの整数 WXYZについて、W＋X＋Y＋Z＝30 W＝3X Y＝4Z が成り立つ。 このときのWの値を求めよ。 既卒者数人がかりでも解けなかったので、ぜひぜひ数学の得意な方に教えていただきたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学Aの問題です。
nが３以上の整数のとき、xのn乗＋２掛けるｙのｎ乗＝４掛けるｚのｎ乗はｘ＝ｙ＝ｚ＝０以外に存在しないことを証明せよ。 ｘ＝ｙ＝ｚ＝０でない整数ｘ、ｙ、ｚで題意の式を満たすものがあると仮定する。～～～～～～ よって、題意の式を満たす整数ｘ、ｙ、ｚは全て2の倍数である。・・・・・・(1) ｘ＝２ｋ、ｙ＝２ｌ、ｚ＝２ｍ（ｋ、ｌ、ｍは整数）として題意の式に代入すると、ｋのｎ乗＋２掛けるlのｎ乗＝４掛けるｍのｎ乗となる。 よって整数ｋ、ｌ、ｍは題意の式を満たすから、 ｘ、ｙ、ｚが題意の式を満たせばｘ／２、ｙ／２、ｚ／２も題意の式を満たす。・・・・・・・(2) 仮定より、ｘ、ｙ、ｚのうち少なくとも１つは０でない。０でない整数は全て、２のp乗かける（２ｑ－１）｛p、qは整数でｐは０以上｝の形に表される。よってｘ、ｙ、ｚ、の０でないものの内、２の指数pの最小のものをＮとすると、ｘ／２のＮ乗、ｙ／２のＮ乗、ｚ／２のＮ乗のうち少なくともひとつは奇数となる。 ゆえに、ｘ、ｙ、ｚは(2)により題意の式を満たすが、(1)を満たさないから矛盾する。 したがって、ｎが３以上の整数のとき、題意の式を満たす整数ｘ、ｙ、ｚは」ｘ＝ｙ＝ｚ＝０だけである。終。 この回答の(2)の下からをやることの持つ意味と、なぜ少なくともひとつは奇数になれば、ゆえににつながるかを詳しく教えてください
- 締切済み
- 数学・算数
- 真理値表から最も簡単な論理式を求める方法
以下の4変数(X,Y,Z,W)の論理関数Fの真理値表からFの論理式を求めたいと思っています X Y Z W | F --------- 0 0 0 0 | 0 0 0 0 1 | 0 0 0 1 0 | 1 0 0 1 1 | 1 0 1 0 0 | 0 0 1 0 1 | 0 0 1 1 0 | 0 0 1 1 1 | 0 1 0 0 0 | 0 1 0 0 1 | 0 1 0 1 0 | 1 1 0 1 1 | 1 1 1 0 0 | 1 1 1 0 1 | 1 1 1 1 0 | 0 1 1 1 1 | 0 最も単純に論理式を求めるならFが1のところだけを抜き出す方法です F=(x*y*Z*w)+(x*y*Z*W)+(X*y*Z*w)+(X*y*Z*W)+(X*Y*z*w)+(X*Y*z*W) ※ +は論理和、*は論理積、小文字は否定を表します しかし、恐らくこれは最も簡単な論理式じゃないと思うのです もう少しマシな論理式の求め方も習ったような気はするのですが、思い出せずにいます 求め方のアドバイスをお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 記号論理学の問題について
記号論理学の問題について教えていただきたく質問しました。 カデゴリ違いだったらすいません。 (1)∃x(x+1＜x) 式が真か偽か答えよ。また限量子を変えて等値な論理式へ変形せよ。 この式は真であってますか？ 限量子は∃xの部分だと思うのですが、どう変えれば等値な倫理式になるでしょうか？ (2)∃x∀yP(x,y) 式を日本語で読め。限量子を変えて等値な論理式へ変形せよ。 この問題については日本語も等値な倫理式へ変形するやり形もよくわかりません。 どなたか回答よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
あのーもうひとつ聞きたいんですが、 ∀y(P(x,y)→((y=1)∨(y=x))) の場合は 正しくないが答えなんでしょうか？ 確かにy=1,y=xなら割り切ることができますが、 x=4でy=2でも割り切れるので… ∀y(((y=1)∨(y=x))→P(x,y)) なら正しいと思いますが…