高校の数I、方程式の問題。

質問

こんばんは。
解答の一部に分からない点がありました。
どなたかお助けいただけますでしょうか・・。
（y+z/a というのは、（y+z）÷aの分数のことです）

問い：「y+z/a= z+x/b= x+y/c のとき、
(b-c)x+(c-a)y+(a-b)zの値を求めよ。」

解答：「y+z/a= z+x/b = x+y/c=k とすると、
y+z=ak, z+x=bk, x+y=ck。
これを連立方程式で計算すると、

y-x=(a-b)k
z-y=(b-c)k
x-z=(c-a)k

(1)k=0のとき、・・・

(2)k=not0 のとき、・・・ (1)(2)より求める値は0 」

わざわざ「k=0のとき」と分けて考えなければいけないのは何故でしょうか。
この場合分けはどういった考えからくるのかピンときません・・・。

回答No.1

tomokoich · ベストアンサー

この問題は
y-x=(a-b)k---(1)
z-y=(b-c)k---(2)
x-z=(c-a)k---(3)
としたあと
a-b=(y-x)/k---(1)'
b-c=(z-y)/k---(2)'
c-a=(x-z)/k---(3)'
にして
(b-c)x+(c-a)y+(a-b)zにそれぞれ(1)'(2)'(3)'のa-b,b-c,c-aを代入すると思いますがその時
そもそも(1)(2)(3)を(1)'(2)'(3)'の形に式を変形できるのはk≠0の時なので場合分けするのだと思います

お礼

なるほど・・・。「そもそも」という所にとても納得しました！
ありがとうございます！
助かりましたー☆

回答No.2

info22_

>わざわざ「k=0のとき」と分けて考えなければいけないのは何故でしょうか。

解き方によります。
いずれにしても(b-c)x+(c-a)y+(a-b)zの値の答えは「0」となります。

■ #1さんの回答にあるように(b-c),(c-a),(a-b)を出して
「(b-c)x+(c-a)y+(a-b)z」に代入する解法ではkによる割り算がでてきますのでk=0,k≠0の場合分けが必要になります。

しかし、
■ x,y,zについて
　y+z=ak, z+x=bk, x+y=ck
を解き、
　x=-(-c-b+a)k/2,y=(c-b+a)k/2,z=(-c+b+a)k/2
と求めたx,y,zを
「(b-c)x+(c-a)y+(a-b)z」に代入する解法ではkで割る必要がなく
式の簡単化だけで「＝0」という式の値が導けます。

お礼

更に深く納得しました！ありがとうございます☆

また色々教えて下さい！