最小値を求めるための間違いはどこか？
- a,b,cを正の定数とし、x,yがaxy-bx-cy=0を満たしているとき、x+yの最小値を求める。
- kの範囲を求めるために、y=ax^2-(ak-b+c)x+ckとおく。
- 解析を進めると、最終的に(b-c)/a<k, (c-b)/a<kが得られるが、これは間違い。正しい解析方法を教えてほしい。
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間違っているのはどこ？
a,b,cを正の定数とし、x,yが axy-bx-cy=0,x>0,y>0 を満たしているとき、x+yの最小値を求めよ。 x+y=kとおくと、y=k-xより、x>0,y>0だから 0<x<k。 y=k-xをaxy-bx-cy=0に代入して、ax^2-(ak-b+c)x+ck=0 これが、0<x<kに少なくとも1つの解を持てばよい。 y=ax^2-(ak-b+c)x+ckとおく。x=0のとき、y=ck>0,x=kのとき、y=bk>0 また、判別式=>0となる（計算すると分かる）。よって、0<x<kに解をもつから、 軸の条件から、0<(ak-b+c)/2a<kを解いて、kの範囲が分かり、最小値が分かると 思ったのですが、(b-c)/a<k, (c-b)/a<kが出てきましたが、答えには程遠いように 思います。間違いを教えてください。よろしくお願いします。
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「判別式=>0」が「任意の正のa,b,c,kについて(ak-b+c)^2-4ack≧0」を意味するとすれば、それは間違いだと思います。
その他の回答 (6)
#6お礼へ 示せたのなら良かったですね。 ちなみに、判別式≧0の同値条件は「k≦(b+c-2√(bc))/aまたは(b+c+2√(bc))/a≦k」のはずで、2が欠けています。 そこを修正することになりますが、そのせいで証明が困難になることはありません。 また、#4は求めたkが最小値であることの十分性を確認していますが、その必要はないでしょう。 質問にある「x=0のとき、y=ck>0、x=kのとき、y=bk>0」の観察が、「「判別式≧0」と「軸の条件」が、「(x, k)は0<x<kと方程式を満たす」と同値である」ことを保証しているからです。
お礼
回答ありがとうございます 最後まで、コメントを頂きありがとうございます。
#4にはもう少し空気を読んでほしい。 流れから言って、判別式≧0からなぜそれが最小値の唯一の候補と言えるか、つまり「b≠c (m≠n)の場合は0<k≦m+n-2√(mn)が質問者の「軸の条件」と両立しない」ことも示すべきだったのですが...。
お礼
回答ありがとうございます (1)b>=cのとき (2)b<cのとき で場合分けをして、(-b+c)/a,(b-c)/a,(b+c-√bc)/a,(b+c+√bc)/a の大小関係から,(b+c+√bc)/a=<kとなりました。正しいのかはあまり 自信はないが・・・・。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
質問氏が、自分の解法の間違いを訊ねているときに、 別解を示しているオナニストも居るしな。
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
まだ、やってんの。 まあ、ろくな回答してない“回答者もどき”が要るからね。。。。。ｗ 簡単な事なんだけどね。 簡単のために、b/a＝m、c/a＝n とすると、m＞0、n＞0 この時、条件式は xy－mx－ny＝0 これに、x+y=kを代入すると x＾2＋(m-n-k)x+nk＝0 ‥‥(1) 実数条件より判別式≧0 (必要条件を求める) 計算すると、確かに最小値は 先ほどと同じ答えになる。 その最小値を与えるxの値が 0とKの間にある事を確認すると良い。 Kの最小値を(1)に代入すると、その時のXの値が、{c+√bc}/a より、確かに 0＜{c+√bc}/a ＜{√c+√b}＾2/a を満たすから、求める答えである。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
間違ってるのは、軸の位置を考えなかったこと。 負の解が２個の場合とか、考えてみた？
お礼
回答ありがとうございます 判別式が平方になると勘違いしてました。 判別式=>0を解くと、 k=<(b+c-√bc)/a,(b+c+√bc)/a=<kとでてきました。 軸からは、(-b+c)/a<k,かつ(b-c)/a<kがでると思うのですが、 これらの条件から、最後の詰めで、kの最小値が(b+c+√bc)/aと なるのか・・・・。
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
面倒な事は嫌いなんで。。。。。ｗ 条件から、(ax-c)y＝bx となる。 (1) ax-c＝0の時、Ｐ＝x+y＝c/a+y＞c/a (2) ax-c≠0の時、ax-c＝t とすると、x＝(t+c)/a y＝b(t+c)/(at) から、x＞0、y＞0 a＞0 b＞0 c＞0 より t＞0 よって、Ｐ＝x+y＝(1/a)*(t+bc/t+b+c)であるから、相加平均・相乗平均より、t+bc/t≧2√bc 等号は、t＝√bcの時。 以上から、Ｐ≧(√b＋√c)＾2/a
お礼
回答ありがとうございます。 回答をみて、相加平均・相乗平均の手があったのかと・・・ 正の数が至るところに出ていて、最小値のキーワードから 相加平均・相乗平均の解法が出てこないとだめでした。 それは、それとして方程式の解の存在から攻めた解法はどこが 間違っていたのでしょうか。気になってしまう。
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