y´´+y´=e^x+x^2の特殊解とは？
- y´´+y´=e^x+x^2の特殊解について考えます。右辺を分ける方法や係数の求め方を解説します。
- y=ax^2+bx+cとして、y´´+y´=x^2を考えると、x^2の項を作ることができません。代わりにy´=ax^2+bx+cとして、y´´+y´=2ax+b+ax^2+bx+cとなります。
- y´´+y´=e^xとして、特殊解を求める場合は、係数を求めることが重要です。ここでは、2a=1となるようなaの値を求めます。
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y´´+y´=e^x+x^2の特殊解ですが…
回答者の皆様、お世話になります。 y´´+y´=e^x+x^2の特殊解ですが… 以前、この掲示板で教えて頂いた右辺を分ける考え方でいきます。 y´´+y´=x^2として、 y=ax^2+bx+c y´=2ax+b y´´=2a ∴y´´+y´=2ax+b+2aと上手く、x^2の項が作れません。 そこで、 y´=ax^2+bx+cとして、y´´=2ax+b ∴y´´+y´=2ax+b+ax^2+bx+c =(a)x^2+(2a+b)x+(b+c)=x^2 係数よりa=1、b=-2、c=2 ∴y´=x^2-2x+2 ∫dy=∫(x^2-2x+2) dx y=x^3/3-x^2+2x と考えていいのでしょうか？ 続けまして、y´´+y´=e^xとして、 y=ae^x, y´=ae^x, y´´=ae^x ∴y´´+y´=2ae^x=e^x 係数より2a=1, a=1/2 y=(1/2)e^x これらを合わせて特殊解は y=(1/2)e^x+x^3/3-x^2+2x で問題はないでしょうか？ご指導願います。
- izayoi168
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ウィ, 流れはそれで OK. 書き方は工夫した方がいいかも.... 例えば 元の微分方程式は線形なので y1, y2 をそれぞれ y1'' + y1' = x^2, y2'' + y2' = e^x の解とすると y = y1 + y2 とできる. とでも言ってから y1, y2 を求めにいく (やることは同じ) 方が安全かもしれない.
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お礼
>>書き方は工夫した方がいい ご指摘、ありがとう御座います。 自分でも y=x^3/3-x^2+2x y=(1/2)e^x y=(1/2)e^x+x^3/3-x^2+2x とyだらけで良いのか疑問に感じてました… これからはy1,y2,yを使います！