解析問題：e^(2x) x dx
- e^(2x)を含む解析問題を解く方法について質問があります。
- 質問文の中で述べられている式∫ 1/ （cos＾2 y) dy = ∫ x e^(2x) dxについて、解法の順番によって答えが変わるのか疑問です。
- これまでの解析問題では、順番の違いが結果に影響することはなかったため、疑問に思っています。順番の決まりがあるのか教えてください。
- ベストアンサー
∫ e^(2x) x dx
問題） Solve (1/x) dy/dx = e^(2x) cos^（2） y 模範途中式）∴ dy/dx = x e^(2x) cos^（2） y ∴ ∫ 1/ （cos＾2 y) dy = ∫ x e^(2x) dx ＊ ∴ ∫ sec ^（2） y dy = ∫ x e^(2x) dx ∴ tan y = x (½ e^(2x) ) - ∫(½ e^(2x) ) dx + と続いていきます。 今回お聞きしたいのは ∴ ∫ 1/ （cos＾2 y) dy = ∫ x e^(2x) dx ＊ なのですが、これは ∴ ∫ 1/ （cos＾2 y) dy = ∫ e^(2x) x dx としては間違いですか？ ∫ u (dv/dx) dx = uv - ∫ v (du/dx) dx ← この公式を使って解いていく為には順番は重要になります。 ∫ e^(2x) x dx で解いていくと答えも違ってしまいます。 私はA x B ＝AB 、B X A = BA で同じ事だと考えてしまいます。 ∫ e^(2x) x dx ← この様な時、e を後ろにもってきて∫ x e^(2x) dx と書かないといけない、という決まりでもあるのでしょうか？ 教えて下さい。
- machikono
- お礼率97% (689/708)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数3
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>今回お聞きしたいのは ∴ ∫ 1/ （cos＾2 y) dy = ∫ x e^(2x) dx ＊ なのですが、これは ∴ ∫ 1/ （cos＾2 y) dy = ∫ e^(2x) x dx としては間違いですか？ →間違いではありません。 ＞∫ u (dv/dx) dx = uv - ∫ v (du/dx) dx ← この公式を使って解いていく為には順番は重要になります。 →なりません。 部分積分は d(uv)/dx=udv/dx+vdu/dx この両辺を積分して移項したものです。勉強しなおしてください。 ＞∫ e^(2x) x dx で解いていくと答えも違ってしまいます。 →間違いです。その違った答えとやらを書いてみてください。そんなものでてきません。 ＞私はA x B ＝AB 、B X A = BA で同じ事だと考えてしまいます。 →正しい。 ＞∫ e^(2x) x dx ← この様な時、e を後ろにもってきて∫ x e^(2x) dx と書かないといけない、という決まりでもあるのでしょうか？ →まったくありません。
その他の回答 (2)
- asuncion
- ベストアンサー率33% (2126/6286)
部分積分って、つまるところ 積の微分公式 (fg)' = f'g + fg' を逆に使って ∫(f'g)dx = fg - ∫(fg')dx ... (1) あるいは ∫(fg')dx = fg - ∫(f'g)dx ... (2) としているだけなんじゃ…。 fとgは入れ替えても同じですから、 結局(1)と(2)は同じことを言っているわけで…。
お礼
ご回答有難うございます。 部分積分というものを自分が物凄く理解していない、という事が分かりました。 勉強します、有難うございます！
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
しょせん掛け算だから順序は無意味. 部分積分の公式もそんな風に覚えるから「順番は重要」と思っちゃうんじゃない?
お礼
Tacosan さんお久しぶりです。 いつも的確なアドバイス有難うございます。
関連するQ&A
- ∫ x^2 e^(3x) dx
∫ x^2 e^(3x) dx = (x^2 )[1/3 e ^ (3x)] - [1/3 e ^ (3x) ](2x) ~ と続くのですがこれはこの公式を使っています→ ∫ u (dv/dx) dx = uv - ∫ v (du/dx) dx わからないのはe^(3x)が 1/3 e ^ (3x)となる事です。例えば y=3e^（x^2） dy/dx = [ 3e^（x^2）] (2x) = 6x e^（x^2） となります。 なので ∫ x^2 e^(3x)dx = (x ^2 )[ 3 e^(3x) ] - [ 3 e^(3x) ](2x) ~ と考えるのです。 どこを間違って考えているのか指摘して頂けますか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 3e x e ^ (2+4x)
Differentiate the following function with respect to x 3e x e ^ (2+4x) という問題です。 答えは 12 e ^(3 + 4x) このルール → y=uv dy/dx = u (dv/dx) + v(du/dx) を使ってやってみたのですが 答えには至りません。 途中計算を見せて頂けますか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- e^(x^2) * e^(j√2x) = ?
次の2階非斉次線形微分方程式の一般解を求めよ。 (d^2 y)/(dx^2) - 4x dy/dx + 4(x^2)y = e^(x^2) ・・・という問題で、 （※下記の j は虚数の i と読み替えてください） v = e^(x^2) (d^2 u)/(dx^2) + 2u = 0 u = d^(λx)とおいて、 λ^2 + 2 = 0 λ=j√2, -j√2 よって、独立解は e^(j√2), e^(-j√2) y = uvであるから y1 = e^(x^2) * e^(j√2x) = e^(x^2) cos √2x ←？ ： ・・・と書いてあるのですが、オイラーの公式で e^(j√2x) = cos √2x + j sin √2x なので、 y1 = e^(x^2) * e^(j√2x) = e^(x^2) { cos √2x + j sin √2x } じゃないんですか？ なぜ、j sin √2x が消えているんですか？ (ちなみに、y2 は -j も消えて y2 = e^(x^2) sin √2x になっています・・・) どうか教えてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- dy(x)/dx +cos(x)y(x
dy(x)/dx +cos(x)y(x)-sin(2x)=0の解き方を教えてください dy(x)/dx +cos(x)y(x)=0なら変数分離法で解けるのですが
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分 e^c がA に変わる理由
問題）Solve (x – 4 ) dy/dx = 3y. Make y the subject. 模範解答および途中式 ↓ ∴ (1/y)(dy/dx) = 3/(x-4) ∴ ∫ (1/y) dy = ∫ 3/(x-4) dx ∴ ln |y| = 3 ln |x - 4| + c ∴ ln |y| - 3 ln |x – 4| = c ∴ ln |y| - ln |(x – 4)³| = c ∴ ln | y/(x – 4)³ | = c ∴ y/(x – 4)³ = e^c ア） ∴ y/(x – 4)³ = A イ） ∴ y = A (x – 4)³ ア）からイ）に変わる時、何故 e^c がA になるのかが理解出来ません。 教えて頂けますか？ 宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の解 積分 ∫sec^(3)x*e^(tanx+log|cosx|) dx
cosD^(2)y+secxDy+(secxtanx+cosx)y=2sec^(2)xtanx D[cosxDy+(secx+sinx)y]=2sec^(2)xtanx cosxDy+(secx+sinx)y=sec^(2)x Dy+(sec^(2)x+tanx)y=sec^(3)x ｙ=e^(-α)*｛∫sec^(3)x*e^α dx +C} （α＝tanx+log|cosx|） tanx=βとおいてみたり,部分積分を試みたのですが ∫sec^(3)x*e^(tanx+log|cosx|) dxのが求められません。 解き方わかった方教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微積（微分方程式）
下記の問題の解き方を教えてください。 １．一般解を求めよ y' + 2y tan x = sin x (答え：y = cos x + C cos^2 x)・・・(1) ＜自分の解いたやり方(間違っています)＞ y' + 2y tan x=0 y'= -2y tan x ∫(1/ (2y)) dy = -∫(sin x / cos x) dx log |y| = 2log |cos x| + 2C y/cos^2 x = ±e^2C(=Aとおく) y = u cos^2 x y' = (u'cos^2 x )-2u cos x sin x=(u'cos^2 x )-u sin 2x これを(1)へ代入 u' cos^2 x = sin x u'=(1-cos^2 x)/cos^2 x ∫du = ∫((1/cos^2 x) - 1) dx u=tan x - x + C y=u cos^2 x = cos^2 x(tan x - x + C) // よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- d/dx（e^-2x^2＊y）の求め方
教科書ではd/dx（e^-2x^2＊y）=xe^-2x^2になっていますが、つい数ページ前の他の問題では、 d/dx[e^-2x]=e^-2x＊d/dx[-2x]=-2e^-2x となっており、d/dx e^xの問題が分からなくなってきました。 公式はd/dx[e^u]=e^u＊du/dxらしいので、 d/dx e^-2x^2＊yも、＝e^-2x^2＊d/dx（-2x^2）=-4xe^-2x^2になりそうな気がしまして、（ｙはどうするんだか分かりません）なぜ、xe^-2x^2になるのか分かりません。 教えてください、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 導関数の微分について
y= cos(3x+2) dy/dx = (dy/du) (du/dx)より = -sin(3x+2) ・3 = -3sin(3x+2) と計算してここまではいいのですが y= 1/sinx 答えは -cosx/sin^2x となっていましたがなぜでしょう y = sinx^-1として dy/dx = (dy/du)(du/dx) = (cosx^-1) (-sinx^-2) =-1/(cosx・sin^2x) ではどうしていけないのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- dθ/dxの求め方について
x＝rcosθ y＝rsinθ とします (1)dθ/dx＝1/(dx/dθ)＝-1/rsinθ (2)y/x＝tanθより (-y/x^2)*dx＝(1/(cosθ)^2)*dθより dθ/dx＝(-y/x^2)*(cosθ)^2 ＝((-rsinθ)/(r^2(cosθ)^2))*(cosθ)^2 ＝-sinθ/r というように結果が違ってしまいます… これはなぜでしょうか…
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
的外れな質問にも関わらずひとつひとつ答えて頂き有難うございました。