添削願い

質問

xについての３次方程式x^3+ax^2+bx+c=0が実数解α、β、γをもつとき、次の問いに答えよ。ただし、a,b,cはすべての実数でc≠0
(1)yについての３次方程式cy^3+10by^2+100ay+1000=0の解は10/α,10/β,10/γであることをしるせ。

回答

cy^3+10by^2+100ay+1000=0は10/α解に持つとき、
c(10/α)^3+10b(10/α)^2+100a(10/α)+1000=0
両辺にα^3/1000をかけて、
α^3+aα^2+bα+c=0
これはx^3+ax^2+bx+c=0がαを解に持つとき成り立つ式である。よって、cy^3+10by^2+100ay+1000=0
は10/αを解にもつ
同様にして、10/β,10/γのときも成り立つ。

(2)上のxについての３次方程式の解とyについての３次方程式の解がすべて整数となるような
(a,b,c)の組は全部で何通りあるか。

回答

α、β、γは10の約数であるから、
±1,2,5,10 のいずれか。

[1]α、β、γがすべて異なる場合
8C3=56通り
[2]α、β、γのうち２つが異なる場合
8C2=28通り
[3]α、β、γがすべて同じ場合
8通り
以上より
56+28+8=92通り

こうなりましたが、これであっていますか？(1)の答えは友達から教えてもらったのですが、こういう証明の仕方はありなのでしょうか？？あと(2)もいまいち自信がありません。

回答No.4

freedom560 · ベストアンサー

(1)ですが・・
証明問題で「解は～であることを示せ」とある際に、「～を解に持つとき」と言った説明をするのはあまり好ましくないと思われます。
つまり今回の例で言うと、cy^3+10by^2+100ay+1000=0の左辺に"y=10/α"を代入しても"左辺=0"になるかどうかはこの時点ではわからない（それを証明しろと言われている）からです。

というわけで、以下のように証明した方がよいです。

------------------------------------
f(y)=cy^3+10by^2+100ay+1000とおく。
y=10/αを代入すると
f(10/α)
=c(10/α)^3+10b(10/α)^2+100a(10/α)+1000
=(10/α)^3*{c+bα+aα^2+α^3}
ここでα^3+aα^2+bα+c=0が成り立つので
f(10/α)=0 ∴10/αを解に持つ
同様にf(10/β)=0、f(10/γ)=0も成立するので
命題が成り立つ
------------------------------------

または、有名な三次方程式の解の関係
α＋β＋γ＝-a
αβ＋βγ＋γα＝b
αβγ＝-c
を用いて、

------------------------------------
cy^3+10by^2+100ay+1000
=-αβγy^3+10(αβ＋βγ＋γα)y^2-100(α＋β＋γ)y+1000
=-αβγ{y^3-(1/γ+1/α+1/β)y^2+100(1/βγ+1/γα+1/αβ)-1000/αβγ}
=-αβγ(y-1/α)(y-1/β)(y-1/γ)
より10/α,10/β,10/γを解に持つ
------------------------------------

として、よりスマートに示す方法もあります。

回答No.3

age_momo

-10,-5,-2,-1,1,2,5,10という名前の8個のグループで○3個を重複して
分けるときの場合の数と言えば分かるでしょうか？
○を引いたグループの名前がα、β、γと思ってください。
-10のグループが○3個とったなら-10,-10,-10です。

この組み合わせは公式がありますね。n個をrのグループで
重複を許して分けるときの場合の数は
(n+r-1)Cn
ですね。この問題の場合は○3つを8つのグループで分けるので
(3+8-1)C3=10C3
です。
URLも参考にしてください。

参考URL：

http://www.nikonet.or.jp/spring/repeat/repeat.htm

回答No.2

age_momo

(2)並び替えの問題と考えてみると

|||||||と○○○を並び替えて
例えば

○||||○||○|

ならば

-10|-5|-2|-1|1|2|5|10

から-10,1,5を選んだ
○○○|||||||
なら-10,-10,-10を選んだと考えると

(7+3)C3=120

と計算できます。

なお、質問者さんが列挙した
[2]α、β、γのうち２つが異なる場合
8C2=28通り
が間違いで、例えば-10と5を選んでも
(-10,-10,5)と(-10,5,5)の二通りあるのでこの方針で式を立てるなら

8P2=56

56+56+8=120

が正解と思います。

補足

並び替えと考える。という説明がいまいちよくわかりません。すみませんがもう少し詳しく教えてください。お願いします。

回答No.1

yoko_love1983

いいよ！！全問正解だ（＾０＾）