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実数
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その３次方程式の解を、A, B, C とすると、 (x＾3)＋a(x＾2)＋bx＋c = (x-A)(x-B)(x-C) と表せますよね。 ３次方程式では、少なくとも一つの解は、必ず実数解になります。 （グラフで、考えると、必ず実数解が一つある事がわかると思います） その解を A とすると、最初の式の両辺を (x-A) で割ってあげます。 すると、２次方程式になりますよね。 ２次方程式であれば、その解は、解の公式で示されるものに なりますので、複素数部の符号が逆になったものが、解である事が わかります。
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- komimasaH
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1＋√2iと1 - √2iを解にもつ二次方程式は x＾2+2x+3=0 二次方程式との共有根は実数解で (b-8)x=-c x=-c/(b-8) 三次方程式は (x+c/(b-8))(x＾2+2x+3)=0となる。 与えられた三次方程式の左辺とこの式の左辺は 恒等式であり、係数を等しいとおいて 3c/(b-8)=cからb=11 c/3+2=a 2c/3+3=11からc=12、上の式からa=6 以上よりa=6,b=11,c=12 共有解はx=-4 三次方程式は(x+4)(x＾2+2x+3)=0となる。
補足
(b-8)x=-cはどのようにして現われたのでしょうか？
>実数係数の方程式の解が1 + (√2)i だけではなく1 - (√2)i 解もどうして持つのかわかりません。 実数係数多項式P(X) について、複素数 Xc=1 + (√2)i が根で、ほかの2つの根をa, b とすると、 P(X)=K*(x-a)(x-b)(x-Xc) と表せます。右辺を展開したとき、a, b のいずれかが Xc の共役Xc~=1 - (√2)i でないと、P(X)の係数が実数 になりません。 一般に、実数係数多項式が複素根をもつときそ、れは共役のペアになる、ということです。
- einart
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二次方程式の解の公式 -ｂ±√（b^2-4ac） ￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 2a これをじっくり観察してみてください。 出来ればそのあとに (x-α)(x-β) のαとβに色々な複素数を入れてみると謎がハッキリしてきます。（謎が深まるかも！？そのときは数学の面白さに触れてモチベーションにつなげましょう）
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以前も同じ質問をしたのですが、時間が空いた為返信が無いな為もう一度よろしくおねがしいます。 実数係数の3次方程式(x＾3)＋a(x＾2)＋bx＋c=0は1＋√2iを解にもつ。 また、この方程式と(x＾2)＋ax＋8=0がただ1つの解を共有する。 このときの係数a,b,cの値を求めル問題で {ｘ－（１＋√2i}{x-(1-√2i}(x-α)=0 を計算して (x＾3)-(2＋α)(x＾2)＋(3＋2α)x-3α=0 a=-(2＋α) b=3＋2α c=-3α になりました。 このあとどうすればいいのでしょうか？ (x＾2)＋ax＋8=(x＾3)＋a(x＾2)＋bx＋c と考えるのでしょうか？ 別解で 1＋√2iと1 - √2iを解にもつ二次方程式は x＾2+2x+3=0 二次方程式との共有根は実数解で (b-8)x=-cはどのようにして現われたのでしょうか？
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- 解き方がわかりません( ´；ω；｀)
1） ２つの２次方程式 ｘ²＋aｘ＋a＋３＝０ ， ｘ²－aｘ＋４＝０ がともに虚数解をもつとき、定数aの値の範囲を求めよ。 2） ２つの方程式 x²＋２aｘ＋a＋２＝０ ， ｘ²－４ｘ＋a＋３＝０ のうち、どちらか一方だけが実数解をもつように、定数aの値の範囲を定めよ。 3） a ， ｂ ， ｃ を定数とする。 ２次方程式 aｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０は、2次の係数aと 定数項ｃが異符号ならば、異なる２つの実数解をもつことを示せ。
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- わからないので教えてください(´・ω・`)
２つの２次方程式 ｘ²＋aｘ＋a＋３＝０ ， ｘ²－aｘ＋４＝０ が ともに虚数解をもつとき、定数aの値の範囲を求めよ。 ２つの方程式 x²＋２aｘ＋a＋２＝０ ， ｘ²－４ｘ＋a＋３＝０ のうち、どちらか一方だけが実数解をもつように、定数aの値の範囲を定めよ。 a ， ｂ ， ｃ を定数とする。 ２次方程式 aｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０は、2次の係数aと 定数項ｃが異符号ならば、異なる２つの実数解をもつことを示せ。
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１、複素数1+iを解の一つとする実数係数の3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0について (1)この方程式の実数解をaで表せ (1)は解けまして実数解＝-a-2 問題は(2)でしてこの方程式と2次方程式x^2-bx+3=0がただ一つの解を共有するとき、定数a,b,cの値を求めよ とりあえず一つの解は(1)でだした-a-2であると思うのですがこの先どうすればいいのかわかりません。 ２、多項式P(x)を(x-1)^2で割った時の余りは4x-5で、x+2で割った時の余りは-4である (3)P(x)を(x-1)^2(x+2)で割った時の余りを求めよ 回答を見たところ P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+c(x-1)^2+4x-5と表していました。 答えは出せるのですが何故このようにあらわせるのかがわかりません。 長文となってしまいましたがお願いします
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補足
どうもありがとうございます。 {ｘ－（１＋√2i}{x-(1-√2i}(x-α)=0 を計算して (x＾3)-(2＋α)(x＾2)＋(3＋2α)x-3α=0 a=-(2＋α) b=3＋2α c=-3α になりました。 このあとどうすればいいのでしょうか？ (x＾2)＋ax＋8=(x＾3)＋a(x＾2)＋bx＋c と考えるのでしょうか？