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代数学の問題です。 解説と答えを教えてください。
1 K=k[X]/(X³+X+1)={0,1,x,x+1,x²,x²+1,x²+x,x²+x+1} ただし、k=Z/(2)とする。Kの中で[1]~[3]を計算しなさい。 [1]x⁸= (xの8乗) [2](x²+1)⁴= [3]1/x= 2 x^10 -1(xの十乗-1)をGF(11)係数の範囲で因数分解しなさい。 お願いします。
- happy-sugar-dog
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- alice_44
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1. 普通に、x^3 + x + 1 = 0 を使って次数下げする。 高校の数Iでも、こういうのやったでしょう? x^8 = (x^2)(x^3)^2 = (x^2)(-x-1)^2 = x^4 + 2x^3 + x^2 = (x^3)x + 0x^3 + x^2 = (-x-1)x + x^2 = -x = x. (x^2+1)^4 = (x^4 + 2x^2 + 1)^2 = (x^4 + 0x^2 + 1)^2 = x^8 + 2x^4 + 1 = x^8 + 0x^4 + 1 = x + 1. ←上の結果を使った。 1/x = (1 + (x^3+x+1))/x = (x^3 + x + 2)/x = (x^3 + x + 0)/x = x^2 + 1. 2. フェルマーの(小)定理より、 x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 について x^10 = 1 (mod 11)。 よって、因数定理により、 与式 = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)(x-10)。
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