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数学 展開式における係数。
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- nag0720
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(1) (x^2-2x+2)^4={(x^2-2x)+2}^4=Σ[n=0~4]4Cn*(x^2-2x)^n*2^(4-n) (x^2-2x)^n=x^n*(x-2)^n=Σ[k=0~n]nCk*x^(n+k)*(-2)^(n-k) この中で、x^5の項はn+k=5、k≦n≦4のときなので、 (n,k)=(4,1)、(3,2)の場合のみ そのときの係数は、 4C4*4C1*(-2)^3*2^0+4C3*3C2*(-2)^1*2^1=-80 (2) (x+2y+1)^n={(x+1)+2y)^n=Σ[k=0~n]nCk*(x+1)^k*(2y)^(n-k) x^2の項はyを含まないため、k=nのときのみ (x+1)^nのなかのx^2の項の係数は、nC2=n(n-1)/2 これが50を超える最小の整数nは、n=11
- gohtraw
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(1) (x^2-2x+2)が四個並んでいて、そのそれぞれから一つの項(x^2かー2xか2のうちからひとつ)を選んで掛けていくのが展開ということです。その結果x^5になるのは (a)x^2を一つ、-2xを3つ (b)x^2を二つ、-2xを一つ、2を一つ の組み合わせです。 (a)は四つの(x^2-2x+2)のうちどれからx^2を選ぶかということなので組み合わせは4通り、従って(a)に対応する係数はー8*4でー32です。 (b)は四つの(x^2-2x+2)のうちどれから-2xを選ぶか、かつ残り3つの(x^2-2x+2)のうちどれから2を選ぶかということなので組み合わせは12通り、従って(b)に対応する係数は-2*2*12で-48です。 (a)と(b)を合わせると係数はー80になります。 (2)上記と同様に考えると、(x+2y+1)がn個並んでいて、それぞれから一つの項(xか2yか1のうちから一つ)を選んで掛けていったときにx^2になる組み合わせを考えればいいことになります。条件を満たすのは 2個の(x+2y+1)からxを選び、残る(nー2)個から1を選んだ場合です。xの選び方はn(n-1)/2通りあるので、全体の係数はn(n-1)/2になります。これが50を超えればいいので n(n-1)/2>50 とおいて n(n-1)>100 これを満たす整数nの条件は11以上になります。
- girlkeeper
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(1)だけ。 xの二乗-2x+2 を(1、-2,2)と表現することにします。そしてコレの4乗(^4とかく)を (1、-2,2) (1、-2,2) (1、-2,2) (1、-2,2) と書くことにします。(xの二乗-2x+2)^4は、これら4段の各段から1個ずつ取り出して、同類項をまとめたものとなります。 例えば最も左を上から下へ1直線にとったものは、x^2を4つ掛けたものなのでx^8の項。その係数は1×1×1×1なので1。 最も右を上から下へ1直線にとったものは定数項を4つまとめたものなので定数項。係数は2×2×2×2なので16。 これらはそれぞれ1パターンしかないのでコレで終わり。 さて本題のx^5ですが、2パターンあって、 Aパターン:x^2を2個、xを1個、定数を1個かけ合わせたもの Bパターン:x^2を1個、xを3個かけ合わせたもの Aパターン:x^2(各段の最も左)を2個えらぶ方法が 4C 2=6(通り) 残り2個からx(格段の真ん中)を1個えらぶ方法が 2C 1=2(通り) 定数項は残り1個で確定なので1通り xの係数が-2,定数項が2なので 係数は 6×2×1×(-2)×2=-48 Bパターン:同様にして、x^2を1個えらぶ方法が 4C 1=4(通り) 残り3個からxを3個えらぶ方法は1通りに確定 定数項は選ばない。 xの係数が-2なので 係数は 4×1×1×(-2)^3=-32 よって x^5の係数は (-48)+(-32)=-80
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