x=√2+√3+√5+√7が満たす整数係数方程式は？

質問

x=√2が満たす整数係数方程式は、

x^2-2=0

です。
x=√2+√3が満たす整数係数方程式は、2乗して、

x^2=5+2√6
移項した後に２乗して、
(x^2-5)^2=24
x^4-10x^2+1=0

です。
x=√2+√3+√5が満たす整数係数方程式は、移項した後に２乗して、
x^2+2-2√2=8+2√15
移項した後に２乗して、
(x^2-6)^2=2√2+2√15
x^4-12x^2+36=68+8√30
再び移項した後に２乗すれば結局８次式になります。

では、x=√2+√3+√5+√7が満たす整数係数方程式はどうなるのでしょうか？
方針だけでも教えてください。
移項した後に２乗しても、ルートの個数が減ってくれそうにありません。

さらに、これをどんどん続けることは可能でしょうか？

回答No.1

ryn · ベストアンサー

整数係数方程式が x=√2 という解を持つなら x=-√2 も解となります．
したがって，x=√2が満たす整数係数方程式は、
　(x-√2)(x+√2) = 0
⇔ x^2 - 2 = 0
となります．

同様に考えると x=√2+√3 の場合は
　(x-√2-√3)(x-√2+√3)(x+√2-√3)(x+√2+√3) = 0
⇔ {(x-√2)^2 - 3}{(x+√2)^2 - 3} = 0
⇔ {(x^2-1) - 2√2x}{(x^2-1) + 2√2x} = 0
⇔ (x^2-1)^2 - 8x^2 = 0
⇔ x^4-10x^2+1=0
となります．

以下同様に，
　x=√2+√3+√5
の場合は
　x=±√2±√3±√5
という8個の解を持つ8次方程式，
　x=√2+√3+√5+√7
の場合は
　x=±√2±√3±√5±√7
という16個の解を持つ16次方程式を考えることで
整数係数の方程式を得ることが出来ます．

お礼

ご回答ありがとうございます。
とても頭のいい方法ですね。

回答No.2

adinat

理屈を考えるとAN.01様のようにやるべきだし、また計算の簡単さからいってもそれを薦めます。がんばって展開すれば、
46225 - 5596840x^2 + 13950764x^4 - 7453176x^6 + 1513334x^8 - 141912x^10 + 6476x^12 - 136x^14 + x^16
になるかと思います。では移行して2乗する方法ではダメか？というとそうでもなくて、それでもうまく行きます。少し計算は端折って概略だけ述べると、
まずx-√2-√3-√5=√7を2乗して、x^2-2(√2+√3+√5)x+10=49です。さらに{(x^2-39)-2(√2+√3)x}=2√5と変形して、2乗すれば(x^2-39)^2-4(x^2-39)(√2+√3)x+4(5+2√6)x^2=20です。ここらあたりから腕の見せどころになってくるわけですが、よく見るとP(x)+Q(x)√2+R(x)√3+S(x)√6=0という形をしていることがわかるので、これをP(x)+Q(x)√2=-√3(R(x)+S(x)√2)というように変形してやります。さらに両辺を2乗します。するとT(x)+U(x)√2=0という形になります。あとは簡単です。

どの方法でも基本的にはうまくいくのですが、途中で元の式を使って√を減らしたりとかさまざまなテクニックが必要になるので、この方法でやるなら方針を明確にすることが大事です。上で提示した方法は√をひとつ消去すること、なわけです。一見、√2、√3、√5のみっつから、√2、√3、√6のみっつが出てきては意味がないではないか、という気になるかも知れませんが、√6＝√2×√3と見れるので、本質的にはふたつになっているんですね。

>x=√2+√3+√5が満たす整数係数方程式は、移項した後に２乗して、
>x^2+2-2√2=8+2√15
の箇所、-(2√2)xのxをお忘れですよ。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞まずx-√2-√3-√5=√7を2乗して、x^2-2(√2+√3+√5)x+10=49です。

ちょっと計算間違いがあるように思われるのですが。
√6や√10や√15も出てくると思います。
ちょっと変更して、

x-√2-√3=√5+√7を2乗して、
P(x)+Q(x)√2+R(x)√3+S(x)√6=√35の形
2乗して、
T(x)+U(x)√2+V(x)√3+W(x)√6=0の形

あとはご回答にあるようにできそうです。

x=√2+√3+√5+√7+√11の場合もそのような方針でうまくいくか、後で考えて見ます。

補足

x=√2+√3+√5+√7+√11の場合ですが、

√を二つセットにして片方に移項し、二乗を二回やるとよさそうな気がします。(以下、P(x)などの文字は重複利用しています)

x-√2-√3-√5=√7+√11
2乗して、
P(x)+Q(x)√2+R(x)√3+S(x)√5+T(x)√6+U(x)√10+V(x)√15=√77の形
2乗して、
P(x)+Q(x)√2+R(x)√3+S(x)√5+T(x)√6+U(x)√10+V(x)√15+W(x)√30=0の形
腕の見せどころで、
P(x)+Q(x)√2+R(x)√3+T(x)√6=-√5(S(x)+U(x)√2+V(x)√3+W(x)√6)の形
2乗すると、
P(x)+Q(x)√2+R(x)√3+T(x)√6=0の形

すると、No.2のご回答にある形に帰着できました。

x=√2+√3+√5+√7+√11+√13の場合なども、そういった方法でうまくいきそうです。

上記では√を二つセットにして片方に移項しましたが、√を一つだけ片方の辺に移項したほうが、理論的にはスッキリしそうです。

ありがとうございました。