【高次方程式の解法】

質問

実数の間の等式(5√2+7の3乗根)-(5√2-7の3乗根)=2…(*)

(1)係数が整数であるｘの3次方程式で、ｘ=(5√2+7の3乗根)-(5√2-7の3乗根)が
解になるものを１つ求めよ。

(2)(1)で求めた3次方程式を解くことにより、等式(*)を証明せよ。

(1)はx^3してみたんですが…いまいち分かりません

(2)はノータッチです…。

数学が得意な方、お願いします！

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

(1)
> x^3してみたんですが…いまいち分かりません
もう一度x^3を計算した結果を眺めてみて下さい。

今 (5√2+7)^(1/3) = a, (5√2-7)^(1/3) = b とおくと、
x=a-bで、x^3 = a^3 - 3(a^2)b + 3a(b^2) - b^3ですが、
これを

x^3 = (a^3 - b^3) + 3ab ( -a+ b) と纏めたとき、
＊a^3 - b^3の結果は綺麗になるはず　（実際に計算する。a^3, b^3はすぐ計算できるはず）
＊ab の結果も綺麗になるはず（実際に計算する。3乗根の中同士を先に掛ける）
* -a + bは何か置き換えられるはず（xの定義は？）

とするとx^3が何かxのある多項式にかけるはずです。

(2)
x=2と言っているんだから、(1)で出した3次方程式の一つの解が、
きっとx=2になるはずです。後は残りの2解が虚数になる事を
示せば良い。