• 締切済み

3次方程式と解と係数の問題

3次方程式の解と係数の問題です。 問題 X^3ー2X^2ーX+3の3つの解をα、β、γと するとき、α+β、β+γ、γ+αを解とする 3次方程式を1つ作りなさい。 という問題です。分からなくなってしまいました。 教えて下さい!途中式など詳しくお願いします!

みんなの回答

回答No.1

解と係数の関係は式の展開と係数比較によります。 つまり、解をa,b,cとするとき、(x-a)(x-b)(x-c)=0 なので x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0 となる。 これによって元の方程式から、(X^3ー2X^2ーX+3=0、ですよね?) α+β+γ=2 αβ+βγ+γα=-1 αβγ=-3 また、新たに作る方程式のひとつは、 {x-(α+β)}{x-(β+γ)}{x-(γ+α)}=0 ⇔x^3-{(α+β)+(β+γ)+(γ+α)}x^2  +{(α+β)(β+γ)+(β+γ)(γ+α)+(γ+α)(α+β)}x  -(α+β)(β+γ)(γ+α)=0 ⇔x^3-2(α+β+γ)x^2 +{(α+β+γ)^2+αβ+βγ+γα}x -(2-γ)(2-β)(2-α) ←解と係数の関係の式を利用 =0 ⇔x^3-4x^2+(4-1)x-8+4(α+β+γ)-2(αβ+βγ+γα)+αβγ=0 ⇔x^3-4x^2+3x-1=0 ではないでしょうか。 途中計算ミスがあるかもしれません。。。

関連するQ&A

  • 2次方程式 解と係数の関係の問題です。

    よろしくお願いします。 問題 2次方程式、4x二乗+mx+3=0の一つの解が他の解に1加えた数となるように、定数mの値を求めよ。 という問題です。 二つの解をaとa+1とおいて、 解と係数の関係から、 a+(a+1)=-m/4 a×(a+1)=3/4 という式を立ててみたのですが、 この考え方でよいのでしょうか? できましたら、正しい解き方を教えていただけないでしょうか? よろしくお願いします。

  • 2次方程式。解と係数の関係の問題

    「2次方程式x^2+ax+b=0が0でない解α、Βをもち、α^2+Β^2=3、1/α+1/Β=1が 成り立つとき、実数a、bの値を求めよ」という問題ですが、 解と係数の関係より、α+Β=-a、αΒ=b よって、α^2+Β^2=(α+Β)^2-2αΒ=a^2-2b=3 1/α+1/Β=(α+Β)/αΒ=-a/b=1より、(a、b)=(-3、3)、(1、-1)と計算できます。 答えも(a、b)=(-3、3)、(1、-1)となっていますが、 実際に(a、b)を使ってできる2次方程式は、 x^2-3x+3=0・・・・・(1)、x^2+x-1=0・・・・・(2)の2つで、 (1)について解くとx=(3±√-3)/2、(2)ついて解くとx=(-1±√5)/2となり、(1)が虚数解と なりますが、問題で、0でない実数解α、Βをもつとなっているので、虚数解でも問題ないとのこと でしょうか? ちなみに、(1)の解だと1/α+1/Β=1は成り立ちません。 α=3+√-3、Β=3-√-3とおいて、 1/(3+√-3)/2+1/(3-√-3)/2=2/(3+√-3)+2/(3-√-3)(有理化?)して (2(3-√-3)+2(3+√-3))/(3-√-3)(3+√-3)=(6+6)/(9-3)=2で成り立ちません。 出展:武蔵工大

  • 三次方程式の問題です

    三次方程式の問題です 3次方程式x^3+x+10=0の3つの解をα、β、γとするとき、1/α,1/β,1/γを解とする3次方程式をつくれ。 という問題がわかりません。 解と係数の関係をつかってみたりしたのですが、どうもうまくいきません。 どうか、おねがいします。

  • 三次方程式の解と係数の関係の問題

    x^3-3x+1の三つの解をα、β、γ、とするとき次の値を求めよ。 (1)α^5+β^5+γ^5            (2)α^6+β^6+γ^6            (3)α^7+β^7+γ^7この3題の問題がどしても解けません。2次3次は解けるのですが、5次以上の場合、解と係数の関係を使ってどのようにとけばよいかだれか教えてください。細かい式も書いてくださいお願いします。 

  • 解と係数の関係を使うの?

    係数や定数項にkが入ったxの二次方程式がふたつあって、 このふたつの方程式が共通の解を持つようなkの値を求めよ、っていう問題なんですが 片方の方程式の解をα、βとおき、もう片方の二解をα、γとおいて文字四つで式4つ作ったけど、 4元の連立、解くのがやたら面倒くさかったです。 だいたい、いまどきの数Iでは解と係数の関係って習うんでしたっけ? もっと他にスマートというか、定番の解き方があったら教えてください。

  • 数II、解と係数の問題

    (1)二次方程式x^2+2mx+2m^2-5=0の一つの解が1より大きく、他の解が1より小さい。 (2)二次方程式x^2+2mx+2m^2-5=0の2つの解がともに1より小さい (1)このとき、解と係数の関係を使って進めていくときに 解をα、βとするとなぜαβ>0という条件のみでいいんでしょうか D>0なのか、D<0のどちらですか。。そしてなぜそうなんでしょうか。 (2)解説には、2つの解が負のときと同じように条件をたてていますが、 1より小さい。だけじゃ、正か負かまだわからないきがするんですが・・。分数とかの場合は かんがえないんでしょうか。 D>0なのはわかりますが、なぜα+β<0 αβ>0?

  • 2次方程式の2つの解 α β

    2次方程式x^2+ax+b=0の2つの解をα、β(α<β)とするとき、α+β、α-βを2つの解とする2次方程式の1つがx^2+bx+a=0である。このとき、定数a、bの値を求めよ。ただし、b≠0とする。 ―――――――――― 解と係数の関係より α+β=-a・・・・(1) αβ=b・・・・・・(2) またx^2+bx+a=0の2解がα+β、α-βであるから 解と係数の関係より (α+β)+(α-β)=-b (α+β)(α-β)=a ―――――――――― ここまでは考えたのですが、この後どうしたらいいのかわからず悩んでいます。 よろしくお願いします。

  • 虚数係数?の三次方程式について

    (問題)aを定数とする。x=2-iが三次方程式x^3+3x^2+x+aの解であるとき、この方程式の実数解を求めよ。 という問題で、x=2+iを共約な解とおいてといたところ、解答に以下のように書いてありました。 「aが“実数の”定数である、という仮定がなされていれば、共約な複素数を用いて解くこともできる(この仮定が満たされないなら、三次方程式が実数解を持つことはないが、問題としておかしいことにはならない)」 これはつまり、 (1) 実数の係数という仮定がないなら共約な複素数を用いて解くことはできない (2)aが実数でないなら、実数解はなしである ということなんですか?実数解がないのに3つ解を持つことは出来るんですか? 問題は実数係数の三次方程式ばかりで、旧課程ではあまり複素数を扱わないのでちんぷんかんぷんです。教えて下さい。

  • 解と係数の関係を利用した問題です

    中学生の子供の夏休みの問題です。 これはどのように解いたら良いのでしょうか? この一問だけ分からず困っています。 解説頂けるとたすかります。 すみませんがよろしくお願いします。 問題 2次方程式x^2-3x+1=0の解を、α、β(α>β)とするとき、 (1)α^2-β^2 (2)α^3-β^3 (3)α^2+β 解と係数の関係より α+β=3 αβ=1 で(1)、(2)は因数分解何とか出来、解けましたが、 (3)の因数分解が出来ず困ってます。 すみませんが解説(教えて頂ける)と助かります。

  • 解と係数の関係の問題です。

    2次方程式X-2+X+1=0の二つの解をα、βとするとき、α-2,β-2もこの方程式の解であることを示せ。 α+β=-1 αβ=1 をもとにすると答えは出るんですが、示し方がわかりません。 わかりやすく教えていただけないでしょうか? 明日、この問題を当てられるのでお願いします!!