• 締切済み

(三進)カントール関数について質問させていただきます。

(三進)カントール関数について質問させていただきます。 カントール集合Cの点xは、 x=Σa_n / 3^n (Σはn=1から∞まで、a_nは0または2をとる) と表すことができますが、ここからカントール関数を導出する方法がわからなくて困っています。 なぜカントール関数F(x)は、x∈Cでは F(x) = Σa_n / 2^{n+1} (Σはn=1から∞まで、a_nは0または2をとる) となるのでしょうか? よろしくお願い致します。

みんなの回答

  • koko_u_u
  • ベストアンサー率18% (216/1139)
回答No.1

>なぜカントール関数F(x)は、(略)となるのでしょうか? それが定義だから、としか言いようもないような気もしますが 「カントール関数」の定義を補足にどうぞ。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • カントール集合

    教えてくださいm(_ _)m お願いします。 (1)カントール集合が連続であることを示せ。 (2)カントール集合がx ∈[2/3,1]でf(x)=1-1/2f(3-3x)を満たすことを示せ。

  • カントール関数が悪魔の階段と呼ばれる理由

    カントール関数(悪魔の階段)について質問です。 ほとんどあらゆる点で微分値が0になることと、非可算無限の点において関数の値が変化することが特徴のカントール関数ですが、この関数のどこが不思議であると考えればよいのでしょうか。 例えばf(x)=0 (x<0), f(x)=1 (x≧0) のような関数でも、ほとんどの点で微分値が0で、1点においてだけ関数の値が変化しますが、このような関数との違いが理解できません。 例示した関数の場合、x=0でf(x)の値が1増加することが明らかである一方、カントール関数の場合はそのような点が無限個存在するため、関数の値がある点においていくつ増加するということを明示的に示せないことがポイントのように思えるのですが、しっくりと来る不思議感が見いだせません。 ご教授よろしくお願いします。

  • 合成関数について

     こんばんは!ちょっと気になったのですが、  "f'(x)"が関数f(x)の導関数,"C"が積分定数を表すとき、  合成関数の微分法 [{f(x)}^n]' = nf'(x){f(x)}^n-1 が成り立つという事は、この関数の不定積分は、  ∫{f(x)}^n dx = [{1/(n+1)f'(x)}{f(x)}^n+1]+C としてもかまわないのでしょうか。  f(x)=ax+b のとき、  ∫(ax+b)^n dx = [{1/(n+1)a}(ax+b)^n+1]+C が成り立つので、関数全体としてはどうかなぁと思ったのですが・・・  よろしくお願いします。

  • 関数列の極限値

    ある関数を考えます。 まず、x=1 で 1、x=0 で 0、x=-1 で -1 となる関数。 f_1(x) = x 次に、x=2 で 1、x=-2 で -1 という条件を加えた関数。 f_2(x) = f_1(x) + C_2(x+1)x(x-1)/3! = f_1(x) + C_2(x+1)!/(x-2)!/3! ここで、C_2 = 1 - f_1(2) とする。 #(x+a)!/(x-a-1)! は (x+a)(x+a-1)...(x-a+1)(x-a) の意味。 更に、x=3 で 1、x=-3 で -1 という条件を加えた関数を考えます。 f_3(x) = f_2(x) + C_3(x+2)!/(x-3)!/5! C_3 = 1 - f_2(3) 漸化式で表すと、次のようになります。 f_n+1(x) = f_n(x) + C_n+1(x+n)!/(x-n-1)!/(2n+1)! C_n+1 = 1 - f_n(n+1) この関数列の極限値f_∞(x) を考えると、以下の性質を持つと思われます。 ・奇関数であり、f_∞(0)=0、f_∞(-x)=-f_∞(x) ・xが正の整数ならば、f_∞(x)=1 さて、ここからが本題です。 符号関数sign(x)にも同じ性質があります。 定義域を実数とした場合、両者は同じ関数でしょうか?

  • 凸関数の問題

    凸集合と凸関数に関する問題です。 問題 x,y∈R^nの内積を<x,y>=x´yで定義する。R^n上の凸集合Cに関して 関数fを                 (ただし、x´はxの転置行列)       f(x)=sup{<x,y>|y∈C} とおく。 (1)fが凸関数であることを示せ  fのエピグラフepi fがR^(n+1)上の凸集合であるとき、fが凸関数  であることから考えようとしたのですが解けません。  ちなみに、fのエピグラフepi fの定義は    epi f={(x,μ)|x∈S,μ∈R,μ≧f(x)} fは、その領域がS∈R^nであり、値は実数か±∞をとるような関数 (2)n=1としたとき、C=[0,1]の場合fはどうなるか?  (1)をどう生かしていけばいいのかわからない。 (3)n=2として、C={(y[1],y[2]|y[1]+y[2]≦1、y[1],y[2]≧0}    のとき、fの等高線をR^2上ではどうなるか?  Cの領域の図示はしましたが、これをどうするのか扱いが理解できない。 以上なのですが、何とか理解したいのでよろしくお願いします。  

  • 零集合 カントール集合 十進法

    三進法では、0と1と2の3種類の文字がありますが、整数部分が0で、小数点以下の部分を、そのうちの2種類の文字をつかって、例えば、2を選ばずに、0と1だけを選んだとすれば、0.01101000110...のようなもの全体の集合は、測度がゼロになる。特に、これをカントール集合と呼ぶ、ということが、志賀浩二さんの本の中にありました。 それでは、十進法で、0~9の十種類の文字が使われていますが、例えば、整数部分が0で、小数点以下の部分を、例えば、0だけ使わないような集合、例えば、3と5だけ使わないような集合、例えば、2と4と8だけ使わないような集合は、測度がゼロになるのでしょうか? 十進法でも、2種類の文字だけであるとすれば、零集合になるということは、ある程度、予想できます。なぜなら、十進法は、三進法より、密度が小さいと感じるからです。それでは、文字が何種類くらいあれば、零集合にならないのか、ということを考えるようになりました。私の予想では、あるn進法の文字のうち、一種類の文字でも少なくなってしまうと、零集合になると思っています。例えば、平面は体積がゼロであるというように。 でも、ひょっとすると、十進法ならば、7文字だけしか使われていなくても、零集合にはならない、という可能性もあります。どなたか、教えていただけないでしょうか。私は、あまり、数学が得意ではないので、なるべく、わかりやすく教えてください。

  • 大学数学の次の問題がわかりません。わかる方、教えてください。

    大学数学の次の問題がわかりません。わかる方、教えてください。 位相空間Xにおいて、次の二つは同値となることを示せ。 (1)Xの可算個の閉集合F_n(n=1,2,3,...)に対してA=∪(n=1~∞)F_nが内点をもてば、少なくとも一つのF_nは内点を持つ。 (2)Xの可算個の開集合G_nがXで稠密ならばA=∩(n=1~∞)G_nもXで稠密である。 参考書には系として載っていて、F_n=G_n^cとおけばよいと書かれていました。 それで∩(n=1~∞)G_n=(∪(n=1~∞)G_n^c)^cを使うのかな、と思いましたがそこから分かりません。

  • 数列の母関数

    数列の母関数で行き詰ってしまいました。 http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function#Asymptotic_growth_of_a_sequence ここにある式で、母関数  G(a_n; x) = {A(x) + B(x)(1-x/r)^(-β)}/x^α が与えられたとき、十分大きな n について  a_n ~ B(r)/(r^αΓ(β))*n^(β-1)*(1/r)^n となることはどのように導出するのでしょうか? 鞍点法など考えてみましたが上手くいきませんでした。 導出のためのヒントをお願いします。

  • 凸関数

    R^nにあるx,yの内積を<x,y>=x´yとする。 ここでR^nの凸集合Cについて 関数f=sup{<x,y>|y∈C} とすると fが凸関数であることを凸関数の定義を使っても できません。 解けるにはどうやればいいのでしょうか?

  • 極限の関数の連続性

    関数が連続になる理由がわからないので質問します。 (1) aは0でない定数とする。x≧0のとき f(x)=lim(n→∞){x^2n+1 +(a-1)x^n -1}/{x^2n -ax^n -1}を求めよ。 (2)関数f(x)がx≧0において連続となるように,aの値を求めよ。 (1)は解けました。(2)がわかりません。解答では (1)より x>1のときf(x)=lim(n→∞){x +(a-1)/x^n -1/x^2n}/{1 -a/x^n -1/x^2n}=x    x=1のときf(x)=lim(n→∞){1^2n+1 +(a-1)1^n -1}/{1^2n -a1^n -1}=(1-a)/a 0≦x<1のときf(x)=lim(n→∞){0+0-1}/{0-0-1}=1 分からない1文は、f(x)は 0≦x<1,x>1においてそれぞれ連続である。連続になる理由は、x≧0においてグラフが描けるからでしょうか?定義域の確認などは必要ないのでしょうか。 このあと、x≧0において連続になるためには、x=1で連続になることが必要十分条件 であるとして、lim(x→1-0)f(x)とlim(x→1+0)f(x)がともに1になるので、 1=(1-a)/aからa=1/2として答えをだしています。 どなたかf(x)=x,f(x)=1などがx≧0で連続になる理由を教えてください。