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数列の母関数
数列の母関数で行き詰ってしまいました。 http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function#Asymptotic_growth_of_a_sequence ここにある式で、母関数 G(a_n; x) = {A(x) + B(x)(1-x/r)^(-β)}/x^α が与えられたとき、十分大きな n について a_n ～ B(r)/(r^αΓ(β))*n^(β-1)*(1/r)^n となることはどのように導出するのでしょうか？ 鞍点法など考えてみましたが上手くいきませんでした。 導出のためのヒントをお願いします。
- ryn
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ヒントを、ということなのでヒントだけ。G(a_n; x) を単に G(x) と書く。 [1] 「a_n ～ B(r)/(r^αΓ(β))*n^(β-1)*(1/r)^n」というのは、 lim[n→∞](a_n / f(n)) = 1 ということ。ただし、 f(n) = (B(r)/Γ(β))*n^(β-1)*(1/r)^(n+α) 。 [2] G(x) が x = 0 で正則だから、αは整数でなければならない。すると、 G(x) の式において x^α で割算する代わりに、添え字の n をαだけずらせば同じことであることが分かる。 f(n) の式で、(1/r) にかかる指数が n +α になっているのは、そのため。以上から、α= 0 のときだけ示せば十分であることが分かる。以下、α= 0 とする。 [3] A(x) をべき級数展開したときの x^n の係数を p_n とし、B(x)(1-x/r)^(-β) をべき級数展開したときの x^n の係数を q_n とする。 a_n = p_n + q_n である（分母のx^αが消えていることに注意）。A(x) の収束半径が r より大きいのだから、 lim[n→∞](p_n / f(n)) = 0 であることが簡単に確かめられる。よって、lim[n→∞](q_n / f(n)) = 1 を示せばよい。以下、A(x) = 0 すなわち、a_n = q_n と仮定する。 [4] まず、B(x) = 1 のときを考える。このとき、 G(x) = (1- x/r)^(-β) だから、べき級数展開により a_n = Γ(β+n) / (n!r^nΓ(β)) であることが分かる。ここで、Γ(β+n) と n! をスターリングの近似式で近似すれば、lim[n→∞](a_n / f(n)) = 1 であることが確かめられる。 [5] あとは、B(x) を徐々に一般化していけばよい。まずは、B(x) = x^k と表される場合、次に、B(x) が多項式の場合を確かめ、最後に、B(x) がべき級数で表される場合を確かめればよい。
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