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数列の極限と関数の極限の違い
質問 問題集(Focus GoldIIIC 啓林館)に lim[n→∞]n^2-n+2/2n^2+3は、数列の極限というタイトルで分類されていますが、 lim[x→∞]6x^2-7x-5/x^2+1は、関数の極限というタイトルで分類されています。 数列の極限と、関数の極限との違いは何ですか? 下記の私見の結論に至ったのですが、この考えで合っていますか。高校生向けの説明をお願い致します。 私見 数列の極限は関数の極限の1つである。関数の極限においては、変数に全ての実数をとりうるが、数列の極限は変数が自然数という特殊な場合であり、変数には自然数しかとれない。 それ故、lim[n→2]n^2-n+2/2n^2+3のように、nが定数に近づくときの極限値を求めよ、という問題はありえない。
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#1ですが度々すみません。 f(x)=sin(2πx)の説明部分ですが、 自然数のときの値を1と書きましたが 明らかな誤りでした。 1ではなく正しくは0になります。 (値を1のままでsinをcosに差し替えても可) お詫びして訂正いたします。 あまりにひどい間違いなので、BAに値しませんね^^
#2です。 >n→Nのときa_n→a >というのは、ある番号kが存在してk≦nとな >るすべてのnに対してa_n=aとなることです。 「k≦nとなるすべてのn」は不正確でしたので 「k≦n≦Nとなるすべてのn」に差し替えお願い します。もちろん単にa_N=aだけでも同じ事です。
お礼
差し替えの件、了解いたしました。ありがとうございました。
>関数の極限においては、変数に全ての >実数をとりうるが、数列の極限は変数が >自然数という特殊な場合であり、変数に >は自然数しかとれない。 だいたい合っています。 例えば、 f(x)=sin(2πx) という関数を考えます。 自然数nに対して、a_n=f(n)=sin(2πn)に よって数列(a_n)を決めると、任意のnに 対してa_n=1なので a_n→1(n→∞) です。 とごろが x→∞のときf(x)は収束しません。 つまり、両者は違うものと見るべきです。 今のはf(n)が収束するけれどもf(x)は収束 しない例ですが、逆にf(x)が収束すれば f(n)は必ず収束します。 なぜ違いが生じるかという理由については 高校の範囲を超えると見るべきでしょう。 >nが定数に近づくときの極限値を求めよ、 >という問題はありえない。 そうとは限りません。 n→Nのときa_n→a というのは、ある番号kが存在してk≦nとな るすべてのnに対してa_n=aとなることです。 これは当たり前にみえるでしょうが、n→Nの ときa_nがとにかく収束することがわかれば ある番号から先はずっと同じ値である、とい う論法はわりとよくみかけます。 ちなみに、高校の場合だとn→∞の極限を 本当に考えているわけではなくて、適当に 変形して1/nを0と置き換えているだけなは ずです。その意味ではn→∞でもn→2でも 大差ないと言えます。
お礼
詳細な説明をありがとうございます。 反例もあり、とてもわかり易かったです。 高校の場合だとn→∞の極限を本当に考えているわけではなかったのですね。実は、なぜ、分母の最高次で割るのかなと、疑問に思っていました。一緒に解決できました。
- notnot
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それって極限と言うより、「数列とは何か。関数とは何か。」という問題になりますよね。 お書きのように、数列を「定義域が自然数(またはN以下の自然数)である関数」と捉えるのはありだと思います。 ただ、元々の意味としては「数の並び」なので、関数とは違いますが。
お礼
ご教示ありがとうございます。 本来は、数列と関数とは違うとのことですから、違いについて勉強してみます。
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