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数列 極限 問題
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L=lim(n→∞)[ (1/n){ (n+1)(n+2)(n+3)・・・(2n) }^(1/n) ] =lim(n→∞)[{(1+1/n)(1+2/n)(1+3/n)・・・(1+n/n) }^(1/n) ] 公式 A=exp(log(A))を使い L=lim(n→∞) exp(log([{(1+1/n)(1+2/n)(1+3/n)・・・(1+n/n) }^(1/n)])) =lim(n→∞) exp({(1/n)Σ(k=1,n) log(1+(k/n))}) 区分求積法（参考URL参照）を適用して L=exp(∫(0,1) log(1+x)dx) 積分部分を取り出して積分すると I=∫(0,1) log(1+x)dx=[xlog(1+x)](0,1)-∫(0,1) x/(1+x) dx =log(2)-∫(0,1) (1-1/(1+x)) dx =log(2)-1+[log(1+x)](0,1) =log(2)-1+log(2) =2log(2)-1 =log(4)-1 L=exp(I)=e^(log(4)-1) =(e^(log(4)))/e 公式 A=exp(log(A))を逆に使い =4/e
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