数列91[A]

質問

次の条件で定まる数列{a(n)}について、次の問いに答えよ。
a(1)=3,a(n+1)=3a(n)+2n+3(n=1,2,3,・・・)
(1)b(n)=a(n)+n+2(n=1,2,3,・・・)で定まる数列{b(n)}は等比数列となることを示せ。
(2)数列{a(n)}の一般項を求めよ。
(3)数列{a(n)}の初項から第n項までの和を求めよ。

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

（１）について
まず素直に条件に従ってb(n)とb(n+1)の関係を見つけることが肝心です。
b(n)=a(n)+n+2
b(n+1)=a(n+1)+(n+1)+2
=3a(n)+2n+3+(n+1)++2
=3a(n)+3n+6
=3{a(n)+n+2}
=3b(n)
b(1)=a(1)+1+2=6
ゆえに数列{b(n)}は初項が6で公比が3の等比数列である。　……（答）

（２）について
b(n)の一般項は（１）の結果から容易に求められます。
数列{b(n)}は初項が6で公比が3の等比数列であるから
b(n)=6*3^(n-1)=2*3*3^(n-1)=2*3^n
b(n)=a(n)+n+2
であったから
a(n)+n+2=2*3^n
a(n)=2*3^n-n-2　……（答）

（３）について
a(n)の一般項がわかったからあとは和の公式を使うだけ.
Σ<k=1,n>2*3^k-k-2
=Σ<k=1,n>2*3^k-Σ<k=1,n>k-Σ<k=1,n>2
ここで，分けて計算を書いてみましょう
Σ<k=1,n>2*3^k=6(3^n-1)/(3-1)　（初項が6で公比が3の等比数列の和）
Σ<k=1,n>k=n(n+1)/2　（公式ですね）
Σ<k=1,n>2=2n　（2+2+2+……ですから。n個の2の和です）
従って
Σ<k=1,n>2*3^k-k-2
=Σ<k=1,n>2*3^k-Σ<k=1,n>k-Σ<k=1,n>2
=6(3^n-1)/(3-1)-n(n+1)/2-2n
～中略～
=3^(n+1)-(n^2+5n+6)/2　……(答）

お礼

ありがとうございました。