大学数学の次の問題がわかりません。わかる方、教えてください。

質問

大学数学の次の問題がわかりません。わかる方、教えてください。

位相空間Ｘにおいて、次の二つは同値となることを示せ。
(1)Ｘの可算個の閉集合Ｆ_n(n=1,2,3,...)に対してＡ＝∪(n=1～∞)Ｆ_nが内点をもてば、少なくとも一つのＦ_nは内点を持つ。
(2)Ｘの可算個の開集合Ｇ_nがＸで稠密ならばＡ＝∩(n=1～∞)Ｇ_nもＸで稠密である。

参考書には系として載っていて、Ｆ_n＝Ｇ_n^cとおけばよいと書かれていました。
それで∩(n=1～∞)Ｇ_n＝(∪(n=1～∞)Ｇ_n^c)^cを使うのかな、と思いましたがそこから分かりません。

回答No.1

alice_44

ヒント：

補題として、
　　開集合 G の補集合が内点を持たない　⇔　G は稠密
であることを示せば、
(1) と (2) が互いに対偶であることが言える。

少しだけ一般化して、
　　開集合 G の補集合が集合 S の元を内点に持たない　⇔　G は S 上稠密
が定理として成り立つ。
(S が X 自身の場合に適用すれば、上記の補題になる。)

この定理の証明を試みてください。
「内点」と「稠密」の定義を確認して、論理式で書き出してみれば、
わりと自動的に同値性が導けます。